Пусть A(n) — множество натуральных решений неравенства 297 < x \le 312, кратных числу n. Запиши множества A(2), A(3), A(5), A(9), A(10).

Привет! Давай разберемся с этими интересными заданиями. ### Задание 53 Нам нужно найти числа, которые больше 297, но меньше или равны 312, и при этом делятся на определенное число. Натуральные числа — это те, которыми мы считаем предметы: 1, 2, 3 и так далее. Множество чисел, которые мы будем рассматривать, это: $$298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312$$ Теперь найдем числа, кратные (то есть делящиеся нацело) $n$: * **A(2)**: Числа, которые делятся на 2 (чётные числа): $$298, 300, 302, 304, 306, 308, 310, 312$$ * **A(3)**: Числа, которые делятся на 3 (сумма цифр числа должна делиться на 3): $2+9+9=20$ (не делится на 3) $3+0+0=3$ (делится на 3) $\rightarrow 300$ $3+0+3=6$ (делится на 3) $\rightarrow 303$ $3+0+6=9$ (делится на 3) $\rightarrow 306$ $3+0+9=12$ (делится на 3) $\rightarrow 309$ $3+1+2=6$ (делится на 3) $\rightarrow 312$ Итак: $$300, 303, 306, 309, 312$$ * **A(5)**: Числа, которые делятся на 5 (оканчиваются на 0 или 5): $$300, 305, 310$$ * **A(9)**: Числа, которые делятся на 9 (сумма цифр числа должна делиться на 9): $3+0+6=9$ (делится на 9) $\rightarrow 306$ Итак: $$306$$ * **A(10)**: Числа, которые делятся на 10 (оканчиваются на 0): $$300, 310$$ **Ответ:** * **A(2) = {298, 300, 302, 304, 306, 308, 310, 312}** * **A(3) = {300, 303, 306, 309, 312}** * **A(5) = {300, 305, 310}** * **A(9) = {306}** * **A(10) = {300, 310}** ### Задание 54 Здесь нужно найти НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное). Чтобы это сделать, мы сначала разложим числа на простые множители — это такие числа, которые делятся только на 1 и на самих себя (например, 2, 3, 5, 7, 11...). **Чтобы найти НОД:** 1. Разложим каждое число на простые множители. 2. Найдем одинаковые множители для всех чисел. 3. Перемножим эти одинаковые множители. **Чтобы найти НОК:** 1. Разложим каждое число на простые множители. 2. Возьмем все множители первого числа. 3. Добавим к ним недостающие множители из других чисел (те, которых нет в первом списке или которых там меньше). 4. Перемножим все эти множители. а) **105 и 225** Разложим числа на множители: $$105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$$ $$225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5^2$$ * **НОД(105, 225)**: Общие множители – это 3 и 5. Берем их по одному разу. $$НОД(105, 225) = 3 \cdot 5 = 15$$ * **НОК(105, 225)**: Берем все множители 105 ($3 \cdot 5 \cdot 7$) и добавляем недостающие из 225. У 225 есть еще одна 3 и еще одна 5. $$НОК(105, 225) = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 9 \cdot 25 \cdot 7 = 225 \cdot 7 = 1575$$ **Ответ: НОД(105, 225) = 15, НОК(105, 225) = 1575** б) **84 и 420** Разложим числа на множители: $$84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$$ $$420 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$$ * **НОД(84, 420)**: Общие множители – это две 2, 3 и 7. $$НОД(84, 420) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$$ * **НОК(84, 420)**: Заметим, что 420 уже содержит все множители 84 и ещё 5. Значит, НОК будет 420. $$НОК(84, 420) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$$ **Ответ: НОД(84, 420) = 84, НОК(84, 420) = 420** в) **273 и 110** Разложим числа на множители: $$273 = 3 \cdot 7 \cdot 13$$ $$110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$$ * **НОД(273, 110)**: У этих чисел нет общих простых множителей. Когда так происходит, НОД равен 1. $$НОД(273, 110) = 1$$ * **НОК(273, 110)**: Просто перемножаем все множители из обоих чисел. $$НОК(273, 110) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 30030$$ **Ответ: НОД(273, 110) = 1, НОК(273, 110) = 30030** г) **45, 120 и 525** Разложим числа на множители: $$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$$ $$120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$$ $$525 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$$ * **НОД(45, 120, 525)**: Общие множители – это 3 и 5. В каждом числе они есть хотя бы по одному разу. $$НОД(45, 120, 525) = 3 \cdot 5 = 15$$ * **НОК(45, 120, 525)**: Берем все множители, которые есть в разложениях, и для каждого множителя выбираем наибольшую степень, в которой он встречается: - $2^3$ (из 120) - $3^2$ (из 45) - $5^2$ (из 525) - $7$ (из 525) $$НОК(45, 120, 525) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 7 = 72 \cdot 25 \cdot 7 = 1800 \cdot 7 = 12600$$ **Ответ: НОД(45, 120, 525) = 15, НОК(45, 120, 525) = 12600** ### Задание 55 Это практическое задание! Для его выполнения тебе нужно будет взять рулетку или измерительную ленту (можно попросить у родителей) и измерить длину и ширину своей комнаты. Важно измерять до десятых долей метра. Например, если длина 3 метра и еще 25 сантиметров, то это будет 3,2 метра (так как 25 сантиметров округляются до 2 десятых метра). Или, если 3 метра 78 сантиметров, то это 3,8 метра. **Допущение: Так как я не могу измерить твою комнату, я приведу пример. Тебе нужно будет подставить свои измерения.** Предположим, я измерил комнату и получил: * Длина: 4 метра 35 сантиметров $\approx$ 4,4 метра * Ширина: 3 метра 68 сантиметров $\approx$ 3,7 метра **Ответ (пример): Длина моей комнаты \approx 4,4 м, ширина \approx 3,7 м.** Удачи с измерениями!