Докажи, что треугольник с вершинами в точках А(1;0;2) В(-2;4;2) С(3;1;0) является тупоугольным

Привет! Давай вместе разберемся, как доказать, что треугольник тупоугольный. Треугольник называется тупоугольным, если у него есть хотя бы один угол, который больше 90 градусов. Мы можем это проверить с помощью векторов и их скалярного произведения. Если скалярное произведение двух векторов, исходящих из одной вершины, отрицательное, то угол между этими векторами тупой (больше 90 градусов). Нам даны вершины треугольника: $A(1;0;2)$, $B(-2;4;2)$, $C(3;1;0)$. 1. **Найдём векторы, которые образуют стороны треугольника.** * Вектор $\vec{AB}$ (идёт из A в B): $(x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-2 - 1; 4 - 0; 2 - 2) = (-3; 4; 0)$. * Вектор $\vec{BC}$ (идёт из B в C): $(x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (3 - (-2); 1 - 4; 0 - 2) = (5; -3; -2)$. * Вектор $\vec{AC}$ (идёт из A в C): $(x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (3 - 1; 1 - 0; 0 - 2) = (2; 1; -2)$. 2. **Теперь проверим углы в каждой вершине с помощью скалярного произведения.** Мы должны использовать векторы, которые *выходят* из одной и той же вершины. Если их скалярное произведение будет отрицательным, значит, угол тупой. * **Угол при вершине A**: используем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3)(2) + (4)(1) + (0)(-2) = -6 + 4 + 0 = -2$. Так как скалярное произведение $-2 < 0$, угол при вершине A является тупым! * **Угол при вершине B**: используем векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Вектор $\vec{BA}$ — это противоположный вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{BA} = (3; -4; 0)$. $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(5) + (-4)(-3) + (0)(-2) = 15 + 12 + 0 = 27$. Так как скалярное произведение $27 > 0$, угол при вершине B является острым. * **Угол при вершине C**: используем векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$. Вектор $\vec{CA}$ — это противоположный вектору $\vec{AC}$, то есть $\vec{CA} = (-2; -1; 2)$. Вектор $\vec{CB}$ — это противоположный вектору $\vec{BC}$, то есть $\vec{CB} = (-5; 3; 2)$. $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-2)(-5) + (-1)(3) + (2)(2) = 10 - 3 + 4 = 11$. Так как скалярное произведение $11 > 0$, угол при вершине C является острым. Мы нашли, что угол при вершине A тупой (больше 90 градусов), потому что скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ отрицательное. **Ответ: Треугольник с вершинами A(1;0;2), B(-2;4;2), C(3;1;0) является тупоугольным, так как угол при вершине А тупой ($\angle BAC > 90^\circ$).**