Найди значение дроби $\frac{x^2 + 5x - 24}{x^2 + 5x - 6}$ при $x = 7$

Привет! Давай разберёмся с этой задачкой. Нам нужно найти значение дроби, подставляя разные значения вместо $x$. Сначала упростим дробь, чтобы вычисления были легче. Мы можем разложить числитель и знаменатель на множители. Для этого используем формулу разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. 1. **Числитель:** $x^2 + 5x - 24 = 0$ Найдём корни уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ и корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$ $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 - 11}{2} = \frac{-16}{2} = -8$ $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3$ Значит, числитель можно записать как $(x + 8)(x - 3)$. 2. **Знаменатель:** $x^2 + 5x - 6 = 0$ $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$ $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$ $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Значит, знаменатель можно записать как $(x + 6)(x - 1)$. Теперь наша дробь выглядит так: $$\frac{(x + 8)(x - 3)}{(x + 6)(x - 1)}$$ Заметь, что если $x=3$, то числитель будет равен 0, а знаменатель не равен 0, поэтому значение дроби будет 0. Если $x=1$ или $x=-6$, то знаменатель будет равен 0, а на 0 делить нельзя, поэтому при этих значениях $x$ дробь не определена. Теперь подставим заданные значения $x$: а) $x = 7$ $$\frac{(7 + 8)(7 - 3)}{(7 + 6)(7 - 1)} = \frac{15 \cdot 4}{13 \cdot 6} = \frac{60}{78} = \frac{10}{13}$$ б) $x = 3$ $$\frac{(3 + 8)(3 - 3)}{(3 + 6)(3 - 1)} = \frac{11 \cdot 0}{9 \cdot 2} = \frac{0}{18} = 0$$ в) $x = 0$ $$\frac{(0 + 8)(0 - 3)}{(0 + 6)(0 - 1)} = \frac{8 \cdot (-3)}{6 \cdot (-1)} = \frac{-24}{-6} = 4$$ г) $x = -2$ $$\frac{(-2 + 8)(-2 - 3)}{(-2 + 6)(-2 - 1)} = \frac{6 \cdot (-5)}{4 \cdot (-3)} = \frac{-30}{-12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2,5$$ д) $x = 0,5$ $$\frac{(0,5 + 8)(0,5 - 3)}{(0,5 + 6)(0,5 - 1)} = \frac{8,5 \cdot (-2,5)}{6,5 \cdot (-0,5)} = \frac{-21,25}{-3,25}$$ Чтобы удобнее было делить, умножим числитель и знаменатель на 100: $$\frac{2125}{325}$$ Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 25: $$\frac{2125 \div 25}{325 \div 25} = \frac{85}{13} \approx 6,538$$ e) $x = 1,9$ $$\frac{(1,9 + 8)(1,9 - 3)}{(1,9 + 6)(1,9 - 1)} = \frac{9,9 \cdot (-1,1)}{7,9 \cdot 0,9} = \frac{-10,89}{7,11}$$ Округлим до сотых: $$\frac{-10,89}{7,11} \approx -1,53$$ **Ответ:** а) **$\frac{10}{13}$** б) **0** в) **4** г) **2,5** д) **$\frac{85}{13} \approx 6,54$** е) **$\approx -1,53$**