Реши уравнение 5/(x-2) + 1 = 14/(x^2 - 4x + 4)

Привет! Давай вместе решим это интересное уравнение. Наше уравнение выглядит так: $$ \frac{5}{x-2} + 1 = \frac{14}{x^2 - 4x + 4} $$ Первым делом, давай посмотрим на знаменатель правой части: $x^2 - 4x + 4$. Это выражение очень похоже на формулу квадрата разности, а именно $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=2$, так что $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Тогда уравнение станет таким: $$ \frac{5}{x-2} + 1 = \frac{14}{(x-2)^2} $$ Очень важно помнить, что знаменатель дроби не может быть равен нулю. Значит, $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. Чтобы избавиться от дробей, умножим все части уравнения на общий знаменатель, которым будет $(x-2)^2$. Только что мы убедились, что он не равен нулю. Умножаем: $$ (x-2)^2 \cdot \frac{5}{x-2} + (x-2)^2 \cdot 1 = (x-2)^2 \cdot \frac{14}{(x-2)^2} $$ Сокращаем дроби: $$ 5(x-2) + (x-2)^2 = 14 $$ Теперь раскроем скобки: $$ 5x - 10 + (x^2 - 4x + 4) = 14 $$ Приводим подобные слагаемые: $$ x^2 + 5x - 4x - 10 + 4 = 14 $$ $$ x^2 + x - 6 = 14 $$ Перенесём число 14 в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль: $$ x^2 + x - 6 - 14 = 0 $$ $$ x^2 + x - 20 = 0 $$ Это квадратное уравнение. Его можно решить, например, с помощью разложения на множители. Нам нужны два числа, которые при умножении дают -20, а при сложении дают 1. Это числа 5 и -4. Значит, уравнение можно записать так: $$ (x+5)(x-4) = 0 $$ Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1. $x+5 = 0 \Rightarrow x = -5$ 2. $x-4 = 0 \Rightarrow x = 4$ Мы должны проверить, подходят ли эти корни условию $x \neq 2$. Оба наших корня ($x=-5$ и $x=4$) не равны 2, значит, они оба являются решениями уравнения. **Ответ:** $x_1 = -5$, $x_2 = 4$