Докажи, что: 1) если a<b, то a+x < b+x; 2) a-5 и b-5

Привет! Давай разберёмся с этими доказательствами. Это отличная тренировка для понимания свойств неравенств. ### Задание 45. Доказать, что: **1) если $a < b$, то $a+x < b+x$** Это одно из основных свойств неравенств. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. Давай докажем это строго. Нам дано, что $a < b$. Это значит, что разность $b - a$ — положительное число, то есть $b - a > 0$. Теперь рассмотрим разность выражений $(b+x)$ и $(a+x)$: $$(b+x) - (a+x) = b+x-a-x = b-a$$ Поскольку мы знаем, что $b - a > 0$, значит и $(b+x) - (a+x) > 0$. А это, в свою очередь, означает, что $b+x > a+x$, или, что то же самое, $a+x < b+x$. Что и требовалось доказать. **2) $a-5$ и $b-5$** **Допущение:** Скорее всего, в задании имеется в виду: доказать, что если $a < b$, то $a-5 < b-5$. Доказательство очень похоже на предыдущее. Если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство. Нам дано $a < b$, значит $b - a > 0$. Рассмотрим разность выражений $(b-5)$ и $(a-5)$: $$(b-5) - (a-5) = b-5-a+5 = b-a$$ Так как $b - a > 0$, то и $(b-5) - (a-5) > 0$. Это означает, что $b-5 > a-5$, или $a-5 < b-5$. Доказано! ### Задание 46. Доказать, что: Здесь нужно быть внимательными, в некоторых пунктах могут быть опечатки в учебнике. Давай всё проверим. **1) если $x(x+2) > (x-2)(x+3)$, то $x < -6$** Раскроем скобки и упростим исходное неравенство: $$x^2 + 2x > x^2 + 3x - 2x - 6$$ $$x^2 + 2x > x^2 + x - 6$$ Теперь уберём $x^2$ из обеих частей: $$2x > x - 6$$ Перенесём $x$ в левую часть: $$2x - x > -6$$ $$x > -6$$ Мы получили, что исходное неравенство верно при $x > -6$. А в задании просят доказать, что $x < -6$. Эти условия противоречат друг другу. Похоже, в условии есть ошибка. **2) если $x(x+6) < (x+1)(x+4)$, то $x < 4$** Упростим это неравенство: $$x^2 + 6x < x^2 + 4x + x + 4$$ $$x^2 + 6x < x^2 + 5x + 4$$ Убираем $x^2$: $$6x < 5x + 4$$ Переносим $5x$ влево: $$6x - 5x < 4$$ $$x < 4$$ Здесь всё сошлось! Мы доказали, что утверждение верное. **3) если $(x-3)^2 > x(x-5)$, то $x > 9$** Раскроем скобки. Слева — формула квадрата разности. $$x^2 - 6x + 9 > x^2 - 5x$$ Убираем $x^2$: $$-6x + 9 > -5x$$ Перенесём $-6x$ вправо, чтобы работать с положительным коэффициентом при $x$: $$9 > -5x + 6x$$ $$9 > x$$ Получилось, что $x < 9$. А доказать просят, что $x > 9$. Снова похоже на опечатку в условии, так как эти два неравенства не могут выполняться одновременно. **4) если $x(3+x) > (x+2)^2$, то $x > -4$** Раскрываем скобки: $$3x + x^2 > x^2 + 4x + 4$$ Убираем $x^2$: $$3x > 4x + 4$$ Перенесём $4x$ влево: $$3x - 4x > 4$$ $$-x > 4$$ Теперь умножим обе части на $-1$. Важно помнить, что при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. $$x < -4$$ Мы получили $x < -4$, а в задании указано $x > -4$. Снова противоречие, видимо, в условии ошибка. Надеюсь, теперь всё стало понятнее! Главное — внимательно делать преобразования и не бояться, если ответ не сходится с задачником, иногда и там бывают ошибки.