Преобразуй в многочлен: а) (x - 2y)(x + 2y) + 4y²

Привет! Давай разберёмся с этими примерами. Здесь нам очень пригодятся формулы сокращённого умножения. Это такие специальные «хитрости», которые помогают быстро раскрывать скобки. ### а) $(x - 2y)(x + 2y) + 4y²$ Первая часть $(x - 2y)(x + 2y)$ — это формула разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. $$(x - 2y)(x + 2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$$ Теперь вернёмся ко всему выражению: $$(x^2 - 4y^2) + 4y^2 = x^2$$ **Ответ:** $x^2$ ### б) $(2a - 3b)(2a + 3b) - 3a²$ Здесь снова используем разность квадратов: $$(2a - 3b)(2a + 3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$$ И вычитаем оставшуюся часть: $$(4a^2 - 9b^2) - 3a^2 = a^2 - 9b^2$$ **Ответ:** $a^2 - 9b^2$ ### в) $(5x - 1)² + 10x$ Выражение $(5x - 1)²$ — это квадрат разности: $(a - b)² = a² - 2ab + b²$. $$(5x - 1)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1$$ Теперь добавим $10x$: $$(25x^2 - 10x + 1) + 10x = 25x^2 + 1$$ **Ответ:** $25x^2 + 1$ ### г) $(3y + 4z)² - 8z(3y - 2z)$ Сначала раскроем квадрат суммы $(a + b)² = a² + 2ab + b²$: $$(3y + 4z)^2 = (3y)^2 + 2 \cdot 3y \cdot 4z + (4z)^2 = 9y^2 + 24yz + 16z^2$$ Затем раскроем вторые скобки: $$-8z(3y - 2z) = -24yz + 16z^2$$ Теперь соединим всё вместе: $$9y^2 + 24yz + 16z^2 - 24yz + 16z^2 = 9y^2 + 32z^2$$ **Ответ:** $9y^2 + 32z^2$ ### д) $(m - 2n)(m² + 2mn + 4n²) + 6n³$ Первая часть — это формула разности кубов: $(a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³$. $$(m - 2n)(m^2 + m \cdot 2n + (2n)^2) = m^3 - (2n)^3 = m^3 - 8n^3$$ Добавим оставшуюся часть: $$(m^3 - 8n^3) + 6n^3 = m^3 - 2n^3$$ **Ответ:** $m^3 - 2n^3$ ### е) $(c² + 4d)(c⁴ - 4c²d + 16d²) - c²(c⁴ - 1)$ Здесь у нас формула суммы кубов: $(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³$. Где $a = c^2$ и $b = 4d$. $$(c^2 + 4d)((c^2)^2 - c^2 \cdot 4d + (4d)^2) = (c^2)^3 + (4d)^3 = c^6 + 64d^3$$ Раскроем вторую часть: $$-c^2(c^4 - 1) = -c^6 + c^2$$ Соединяем: $$c^6 + 64d^3 - c^6 + c^2 = c^2 + 64d^3$$ **Ответ:** $c^2 + 64d^3$ ### ж) $(3x - 4y)² - (2x - 7y)(4x + 2y)$ Сначала квадрат разности: $$(3x - 4y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4y + (4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$$ Затем перемножим две другие скобки: $$(2x - 7y)(4x + 2y) = 8x^2 + 4xy - 28xy - 14y^2 = 8x^2 - 24xy - 14y^2$$ Теперь вычтем второе из первого: $$(9x^2 - 24xy + 16y^2) - (8x^2 - 24xy - 14y^2) = 9x^2 - 24xy + 16y^2 - 8x^2 + 24xy + 14y^2 = x^2 + 30y^2$$ **Ответ:** $x^2 + 30y^2$ ### з) $2x(2x + 3)² - (2x - 3)(4x² + 6x + 9)$ Вторая часть — это разность кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$, где $a=2x$, $b=3$: $$(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) = (2x)^3 - 3^3 = 8x^3 - 27$$ Теперь первая часть. Сначала квадрат суммы: $$(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$$ Потом умножаем на $2x$: $$2x(4x^2 + 12x + 9) = 8x^3 + 24x^2 + 18x$$ И теперь вычитаем: $$(8x^3 + 24x^2 + 18x) - (8x^3 - 27) = 8x^3 + 24x^2 + 18x - 8x^3 + 27 = 24x^2 + 18x + 27$$ **Ответ:** $24x^2 + 18x + 27$