Представь в виде степени с основанием x выражение (x^6)^2

Привет! Давай разберёмся с этими упражнениями. Это отличная возможность повторить важные темы в алгебре. Я покажу, как решаются некоторые примеры из каждого задания, и ты сможешь по аналогии сделать остальные. ### 1. Представьте в виде степени с основанием x Здесь мы используем свойства степеней. Главное помнить: * При возведении степени в степень, показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. * При умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. **1) $(x^6)^2$** Возводим степень в степень, поэтому просто перемножаем показатели: $$(x^6)^2 = x^{6 \cdot 2} = x^{12}$$ **5) $(x^{10})^3 \cdot (x^5)^4$** Сначала упростим каждый множитель, а потом их перемножим: $$(x^{10})^3 = x^{10 \cdot 3} = x^{30}$$ $$(x^5)^4 = x^{5 \cdot 4} = x^{20}$$ $$x^{30} \cdot x^{20} = x^{30+20} = x^{50}$$ ### 2. Упростите выражение Здесь нужно раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Нам помогут формулы сокращённого умножения. **1) $(x-2)(x-11) - 2x(4-3x)$** * Раскрываем первые скобки, умножая "фонтанчиком": $(x-2)(x-11) = x^2 - 11x - 2x + 22 = x^2 - 13x + 22$ * Раскрываем вторые скобки: $-2x(4-3x) = -8x + 6x^2$ * Собираем всё вместе и приводим подобные: $$(x^2 - 13x + 22) + (-8x + 6x^2) = 7x^2 - 21x + 22$$ **4) $(x+2)^2 - (x-3)(x+3)$** * Первую скобку раскрываем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$: $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$ * Вторую — по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$: $(x-3)(x+3) = x^2 - 9$ * Вычитаем одно из другого (не забываем про минус перед скобкой!): $(x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 9) = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 9 = 4x + 13$ ### 3. Разложите на множители Здесь нужно найти общий множитель и вынести его за скобку. **1) $8a - 12b$** * Ищем наибольшее число, на которое делятся и 8, и 12. Это 4. * Выносим 4 за скобку: $$8a - 12b = 4(2a - 3b)$$ **10) $6m^3n^2 + 9m^2n - 18mn^2$** * Для чисел 6, 9, 18 общий множитель — 3. * Для переменных $m$ и $n$ берём наименьшие степени, которые есть в каждом слагаемом: это $m$ и $n$. * Общий множитель: $3mn$. * Выносим его: $$3mn(2m^2n + 3m - 6n)$$ ### 4. Разложите на множители Используем метод группировки: объединяем слагаемые в группы и выносим общий множитель. **1) $5a + 5b - am - bm$** * Группируем: $(5a + 5b) + (-am - bm)$. * Из первой группы выносим 5, из второй $-m$: $5(a+b) - m(a+b)$ * Теперь выносим общую скобку $(a+b)$: $$(a+b)(5-m)$$ ### 5. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена Вспоминаем формулы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. **1) $a^2 + 8a + 16$** * $a^2$ — это квадрат $a$. * $16$ — это квадрат $4$. * Проверяем средний член: $2 \cdot a \cdot 4 = 8a$. Всё сходится! * $$a^2 + 8a + 16 = (a+4)^2$$ ### 6. Разложите на множители Применяем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. **1) $x^2 - 4$** * Представляем 4 как $2^2$. Получается $x^2 - 2^2$. * $$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$$ **6) $a^4 - b^6$** * Представим каждое слагаемое как квадрат: $a^4=(a^2)^2$ и $b^6=(b^3)^2$. * Получаем $(a^2)^2 - (b^3)^2$. * $$a^4 - b^6 = (a^2 - b^3)(a^2 + b^3)$$ ### 7. Разложите на множители Здесь нужны формулы суммы и разности кубов: * $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ * $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ **1) $c^3 + 8$** * Представим 8 как $2^3$. Получается $c^3 + 2^3$. * Применяем формулу суммы кубов: $$c^3 + 8 = (c+2)(c^2 - 2c + 4)$$ **2) $27a^3 - b^3$** * Представим $27a^3$ как $(3a)^3$. Получается $(3a)^3 - b^3$. * Применяем формулу разности кубов: $$27a^3 - b^3 = (3a-b)(9a^2 + 3ab + b^2)$$ Надеюсь, эти примеры помогли тебе разобраться! Удачи с остальными заданиями!