Представь в виде степени с основанием x выражение (x^6)^2

Привет! Давай вместе разберёмся с этими заданиями. Это отличное повторение! ### 1. Представьте в виде степени с основанием x Здесь мы используем свойства степеней. Главное помнить: * При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$. * При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(x^a)^b = x^{ab}$. * Минус в чётной степени исчезает (например, $(-x)^2 = x^2$), а в нечётной — остаётся (например, $(-x)^3 = -x^3$). 1) $(x^6)^2 = x^{6 \cdot 2} = x^{12}$ 2) $(-x^5)^4 = x^{5 \cdot 4} = x^{20}$ 3) $x^4 x^3 = x^{4+3} = x^7$ 4) $((x^3)^2)^5 = (x^{3 \cdot 2})^5 = (x^6)^5 = x^{6 \cdot 5} = x^{30}$ 5) $(x^{10})^3 \cdot (x^5)^4 = x^{10 \cdot 3} \cdot x^{5 \cdot 4} = x^{30} \cdot x^{20} = x^{30+20} = x^{50}$ 6) $(-x^6)^7 \cdot (-x^3)^3 : x^{15} = (-x^{42}) \cdot (-x^9) : x^{15} = x^{42+9} : x^{15} = x^{51} : x^{15} = x^{51-15} = x^{36}$ ### 2. Упростите выражение Тут нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Будь внимателен со знаками! 1) $(x-2)(x-11) - 2x(4-3x) = x^2 - 11x - 2x + 22 - 8x + 6x^2 = 7x^2 - 21x + 22$ 2) $(a+6)(a-3) + (a-4)(a+5) = (a^2 - 3a + 6a - 18) + (a^2 + 5a - 4a - 20) = a^2 + 3a - 18 + a^2 + a - 20 = 2a^2 + 4a - 38$ 3) $(y-8)(2y-1) - (3y+1)(5y-2) = (2y^2 - y - 16y + 8) - (15y^2 - 6y + 5y - 2) = (2y^2 - 17y + 8) - (15y^2 - y - 2) = 2y^2 - 17y + 8 - 15y^2 + y + 2 = -13y^2 - 16y + 10$ 4) $(x+2)^2 - (x-3)(x+3) = (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 9) = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 9 = 4x + 13$ 5) $(7a-5b)(7a+5b) - (4a+7b)^2 = (49a^2 - 25b^2) - (16a^2 + 56ab + 49b^2) = 49a^2 - 25b^2 - 16a^2 - 56ab - 49b^2 = 33a^2 - 56ab - 74b^2$ 6) $(y-2)(y+3) - (y-1)^2 + (5-y)(y+5) = (y^2 + y - 6) - (y^2 - 2y + 1) + (25 - y^2) = y^2 + y - 6 - y^2 + 2y - 1 + 25 - y^2 = -y^2 + 3y + 18$ ### 3. Разложите на множители Ищем общий множитель и выносим его за скобки. 1) $8a - 12b = 4(2a - 3b)$ 2) $3a - ab = a(3 - b)$ 3) $6ax + 6ay = 6a(x + y)$ 4) $4a^2 + 8ac = 4a(a + 2c)$ 5) $a^5 + a^2 = a^2(a^3 + 1)$ 6) $12x^2y - 3xy = 3xy(4x - 1)$ 7) $21a^2b + 28ab^2 = 7ab(3a + 4b)$ 8) $-3x^6 + 12x^{12} = 3x^6(4x^6 - 1) = 3x^6(2x^3 - 1)(2x^3 + 1)$ 9) $4a^2 - 8a^3 + 12a^4 = 4a^2(1 - 2a + 3a^2)$ 10) $6m^3n^2 + 9m^2n - 18mn^2 = 3mn(2m^2n + 3m - 6n)$ ### 4. Разложите на множители Здесь используем метод группировки: объединяем слагаемые в группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель. 1) $5a + 5b - am - bm = (5a + 5b) - (am + bm) = 5(a+b) - m(a+b) = (a+b)(5-m)$ 2) $6m - mn - 6 + n = (6m - 6) - (mn - n) = 6(m-1) - n(m-1) = (m-1)(6-n)$ 3) $a^6 + a^4 - 3a^2 - 3 = (a^6 + a^4) - (3a^2 + 3) = a^4(a^2+1) - 3(a^2+1) = (a^2+1)(a^4-3)$ 4) $10a^2b - 2a^2 + 5ab^2 - ab = (10a^2b - 2a^2) + (5ab^2 - ab) = 2a^2(5b-1) + ab(5b-1) = (2a^2+ab)(5b-1) = a(2a+b)(5b-1)$ 5) $2x^3 - 3x^2y - 4x + 6y = (2x^3 - 3x^2y) - (4x - 6y) = x^2(2x-3y) - 2(2x-3y) = (x^2-2)(2x-3y)$ 6) $x^2y - x + xy^2 - y = (x^2y + xy^2) - (x + y) = xy(x+y) - 1(x+y) = (xy-1)(x+y)$ ### 5. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена Вспоминаем формулы квадрата суммы и квадрата разности: * $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ * $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 1) $a^2 + 8a + 16 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = (a+4)^2$ 2) $9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = (3x-1)^2$ 3) $121m^2 - 88mn + 16n^2 = (11m)^2 - 2 \cdot 11m \cdot 4n + (4n)^2 = (11m-4n)^2$ 4) $24ab + 36a^2 + 4b^2 = 36a^2 + 24ab + 4b^2 = (6a)^2 + 2 \cdot 6a \cdot 2b + (2b)^2 = (6a+2b)^2$ 5) $a^6 - 4a^3b + 4b^2 = (a^3)^2 - 2 \cdot a^3 \cdot 2b + (2b)^2 = (a^3 - 2b)^2$ 6) $25p^{10} + q^8 + 10p^5q^4 = 25p^{10} + 10p^5q^4 + q^8 = (5p^5)^2 + 2 \cdot 5p^5 \cdot q^4 + (q^4)^2 = (5p^5 + q^4)^2$ ### 6. Разложите на множители Тут нам поможет формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. 1) $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$ 2) $25 - 9a^2 = 5^2 - (3a)^2 = (5-3a)(5+3a)$ 3) $36m^2 - 100n^2 = 4(9m^2 - 25n^2) = 4(3m-5n)(3m+5n)$ 4) $0,04p^2 - 1,69q^2 = (0,2p)^2 - (1,3q)^2 = (0,2p - 1,3q)(0,2p + 1,3q)$ 5) $x^2y^2 - \frac{4}{9} = (xy)^2 - (\frac{2}{3})^2 = (xy - \frac{2}{3})(xy + \frac{2}{3})$ 6) $a^4 - b^6 = (a^2)^2 - (b^3)^2 = (a^2 - b^3)(a^2 + b^3)$ 7) **Допущение:** В задании 6.7) выражение выглядит как $0,01c^8 - d^8$. $0,01c^8 - d^8 = (0,1c^4)^2 - (d^4)^2 = (0,1c^4 - d^4)(0,1c^4 + d^4)$ 8) $-1 + a^4b^8 = a^4b^8 - 1 = (a^2b^4)^2 - 1^2 = (a^2b^4 - 1)(a^2b^4 + 1) = (ab^2 - 1)(ab^2 + 1)(a^2b^4 + 1)$ ### 7. Разложите на множители А здесь пригодятся формулы суммы и разности кубов: * $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ * $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ 1) $c^3 + 8 = c^3 + 2^3 = (c+2)(c^2 - 2c + 4)$ 2) $27a^3 - b^3 = (3a)^3 - b^3 = (3a - b)((3a)^2 + 3a \cdot b + b^2) = (3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)$ 3) $125 + a^3b^3 = 5^3 + (ab)^3 = (5+ab)(5^2 - 5ab + (ab)^2) = (5+ab)(25 - 5ab + a^2b^2)$ 4) $x^9 - y^9 = (x^3)^3 - (y^3)^3 = (x^3 - y^3)(x^6 + x^3y^3 + y^6) = (x-y)(x^2+xy+y^2)(x^6+x^3y^3+y^6)$ Надеюсь, всё понятно!