Упрости выражение 1/x^2 + (x-2)/x

Привет! Давай разберёмся с этими примерами. Упростить выражение — значит сделать его короче и проще, выполнив все возможные действия. В твоих заданиях нужно работать с дробями, так что главное — найти общий знаменатель. ### Решение **а) $\frac{1}{x^2} + \frac{x-2}{x}$** 1. Чтобы сложить эти дроби, нужен общий знаменатель. Здесь это $x^2$. 2. Домножим вторую дробь на $x$, чтобы у неё тоже был знаменатель $x^2$. $$\frac{1}{x^2} + \frac{(x-2) \cdot x}{x \cdot x} = \frac{1}{x^2} + \frac{x^2 - 2x}{x^2}$$ 3. Теперь сложим числители: $$\frac{1 + x^2 - 2x}{x^2} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2}$$ 4. В числителе у нас формула квадрата разности: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. $$\frac{(x-1)^2}{x^2}$$ **Ответ: $\frac{(x-1)^2}{x^2}$** --- **б) $\frac{3}{x+y} + \frac{5}{x-y}$** 1. Здесь общий знаменатель — это произведение знаменателей: $(x+y)(x-y)$. 2. Домножим первую дробь на $(x-y)$, а вторую на $(x+y)$. $$\frac{3(x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{5(x+y)}{(x+y)(x-y)}$$ 3. Сложим числители: $$\frac{3(x-y) + 5(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{3x - 3y + 5x + 5y}{(x+y)(x-y)}$$ 4. Приведём подобные слагаемые в числителе: $$\frac{(3x+5x) + (-3y+5y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{8x+2y}{(x+y)(x-y)}$$ 5. Знаменатель можно свернуть по формуле разности квадратов: $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$. **Ответ: $\frac{8x+2y}{x^2-y^2}$** --- **в) $\frac{1-5d^2}{d^6} - \frac{d-5}{d^4} + \frac{1}{d^3}$** 1. Общий знаменатель для $d^6$, $d^4$ и $d^3$ — это $d^6$. 2. Домножим вторую дробь на $d^2$, а третью — на $d^3$. $$\frac{1-5d^2}{d^6} - \frac{(d-5)d^2}{d^6} + \frac{d^3}{d^6}$$ 3. Запишем всё под одной чертой: $$\frac{1-5d^2 - (d^3-5d^2) + d^3}{d^6}$$ 4. Раскроем скобки (не забываем поменять знак) и упростим числитель: $$\frac{1 - 5d^2 - d^3 + 5d^2 + d^3}{d^6} = \frac{1}{d^6}$$ **Ответ: $\frac{1}{d^6}$** --- **г) $\frac{5c}{6c-6} - \frac{4c}{3c+3} + \frac{c^2}{2c^2-2}$** 1. Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий. * $6c-6 = 6(c-1)$ * $3c+3 = 3(c+1)$ * $2c^2-2 = 2(c^2-1) = 2(c-1)(c+1)$ 2. Общий знаменатель будет $6(c-1)(c+1)$. 3. Приведём все дроби к этому знаменателю: $$\frac{5c(c+1)}{6(c-1)(c+1)} - \frac{4c \cdot 2(c-1)}{6(c-1)(c+1)} + \frac{c^2 \cdot 3}{6(c-1)(c+1)}$$ 4. Выполним действия в числителе: $$\frac{5c^2+5c - (8c^2-8c) + 3c^2}{6(c-1)(c+1)}$$ 5. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$\frac{5c^2+5c - 8c^2+8c + 3c^2}{6(c-1)(c+1)} = \frac{(5c^2-8c^2+3c^2) + (5c+8c)}{6(c^2-1)} = \frac{0 \cdot c^2 + 13c}{6(c^2-1)}$$ **Ответ: $\frac{13c}{6(c^2-1)}$**