Упрости выражение (3a - 7) + (4 - a)

Привет! Давай разберёмся с этой самостоятельной работой. Я покажу, как решать по одному примеру из каждого задания в первом блоке (С-1), чтобы тебе было понятнее. ### C-1. Преобразование целого выражения в многочлен **1. Упростите выражение** а) $(3a - 7) + (4 - a)$ * Сначала раскроем скобки. Так как перед ними стоит знак «плюс», знаки внутри скобок не меняются. $$ (3a - 7) + (4 - a) = 3a - 7 + 4 - a $$ * Теперь сгруппируем и сложим похожие друг на друга части: те, что с буквой $a$, и просто числа. $$ (3a - a) + (-7 + 4) = 2a - 3 $$ **Ответ: $2a - 3$** **2. Представьте в виде многочлена** а) $7c^2(2c - 9)$ * Здесь нужно умножить $7c^2$ на каждое слагаемое в скобках. $$ 7c^2 \cdot 2c - 7c^2 \cdot 9 $$ * Выполняем умножение: $$ 14c^3 - 63c^2 $$ **Ответ: $14c^3 - 63c^2$** **3. Упростите выражение** а) $5(2x - 3) + 2(7 - 3x)$ * Снова раскроем скобки, умножая число перед скобкой на всё, что внутри. $$ 5 \cdot 2x - 5 \cdot 3 + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 3x = 10x - 15 + 14 - 6x $$ * Приведём подобные слагаемые (отдельно с $x$ и отдельно числа). $$ (10x - 6x) + (-15 + 14) = 4x - 1 $$ **Ответ: $4x - 1$** **4. Представьте в виде многочлена** а) $(x - 8)(x + 8)$ * Это формула сокращённого умножения, которая называется «разность квадратов»: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Она очень помогает решать такие примеры быстрее. * В нашем случае $a = x$, а $b = 8$. $$ (x - 8)(x + 8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64 $$ **Ответ: $x^2 - 64$** **5. Докажите, что выражение $(a - 4)(a + 8) - 4(a - 9)$ при любом $a$ принимает положительное значение** * Сперва упростим выражение, раскрыв все скобки. $$ (a^2 + 8a - 4a - 32) - (4a - 36) = a^2 + 4a - 32 - 4a + 36 $$ * Теперь приведём подобные слагаемые. $$ a^2 + (4a - 4a) + (-32 + 36) = a^2 + 4 $$ * Мы получили $a^2 + 4$. Квадрат любого числа ($a^2$) всегда больше или равен нулю. А если к неотрицательному числу прибавить 4, результат точно будет положительным (больше нуля). Это и есть доказательство. **6. Докажите, что при любом целом $y$ значение выражения $32y + (y - 8)^2 - y(y - 16)$ кратно 32** * «Кратно 32» означает, что делится на 32 без остатка. Упростим выражение. Для $(y - 8)^2$ используем формулу «квадрат разности». $$ 32y + (y^2 - 16y + 64) - (y^2 - 16y) $$ * Раскроем оставшиеся скобки, меняя знаки во второй, так как перед ней стоит минус. $$ 32y + y^2 - 16y + 64 - y^2 + 16y $$ * Приведём подобные слагаемые. $$ (y^2 - y^2) + (32y - 16y + 16y) + 64 = 32y + 64 $$ * Теперь вынесем общий множитель 32 за скобки. $$ 32(y + 2) $$ * Раз у нас получился множитель 32, то всё выражение точно делится на 32. **7. При каком значении $b$ многочлен $(x^2 + 2x - 3)(x - b)$ не содержит $x^2$?** * Перемножим скобки, чтобы получить многочлен в стандартном виде. $$ x^2 \cdot x - x^2 \cdot b + 2x \cdot x - 2x \cdot b - 3 \cdot x + 3 \cdot b = x^3 - bx^2 + 2x^2 - 2bx - 3x + 3b $$ * Сгруппируем слагаемые с $x^2$. $$ x^3 + (2 - b)x^2 - (2b + 3)x + 3b $$ * Чтобы в многочлене не было $x^2$, коэффициент (число) перед ним должен быть равен нулю. $$ 2 - b = 0 $$ * Отсюда легко найти $b$. $$ b = 2 $$ **Ответ: при $b = 2$** Надеюсь, эти примеры помогут тебе справиться с остальными заданиями!