Возрастающей или убывающей является функция y = 9x - 4?

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Всё не так сложно, как кажется. ### 259. Возрастающей или убывающей является функция: Чтобы определить, возрастает или убывает линейная функция (график которой — прямая линия), нужно посмотреть на число, которое стоит перед $x$. Его называют коэффициентом $k$. * Если $k > 0$ (положительное), функция **возрастает**. * Если $k < 0$ (отрицательное), функция **убывает**. 1) $y = 9x - 4$: $k=9$, он положительный, значит, функция **возрастающая**. 2) $y = -4x + 10$: $k=-4$, он отрицательный, значит, функция **убывающая**. 3) $y = 12 - 3x$: здесь $k=-3$, функция **убывающая**. 4) $y = -x$: то же самое, что $y = -1x$, $k=-1$, функция **убывающая**. 5) $y = \frac{1}{6}x$: $k=\frac{1}{6}$, он положительный, функция **возрастающая**. 6) $y = 1 - 0,3x$: $k=-0,3$, он отрицательный, функция **убывающая**. ### 260. Найдите нули функции: Нули функции — это такие значения $x$, при которых значение функции (то есть $y$ или $f(x)$) равно нулю. Чтобы их найти, приравниваем функцию к нулю и решаем уравнение. 1) $f(x) = 0,2x + 3$ $$0,2x + 3 = 0$$ $$0,2x = -3$$ $$x = -3 : 0,2 = -15$$ **Ответ: -15** 2) $g(x) = 35 - 2x - x^2$ $$-x^2 - 2x + 35 = 0$$ Умножим на -1, чтобы было удобнее: $$x^2 + 2x - 35 = 0$$ Решаем через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 = 12^2$ $x_1 = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5$ $x_2 = \frac{-2 - 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7$ **Ответ: -7; 5** 3) $\varphi(x) = \sqrt{x+3}$ $$\sqrt{x+3} = 0$$ $$x+3 = 0$$ $$x = -3$$ **Ответ: -3** 4) $h(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x+3}$ Приравниваем к нулю числитель: $$x^2 - x - 6 = 0$$ $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$ $x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3$ $x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2$ Важно: знаменатель не должен быть равен нулю, $x+3 \ne 0$, значит $x \ne -3$. Наши корни подходят. **Ответ: -2; 3** 5) $f(x) = x^3 - 4x$ $$x^3 - 4x = 0$$ $$x(x^2 - 4) = 0$$ $$x(x-2)(x+2) = 0$$ Это значит, что либо $x=0$, либо $x-2=0$ (тогда $x=2$), либо $x+2=0$ (тогда $x=-2$). **Ответ: -2; 0; 2** 6) $f(x) = x^2 + 1$ $$x^2 + 1 = 0$$ $$x^2 = -1$$ Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому у этого уравнения нет решений. **Ответ: нулей нет** ### 261. Найдите нули функции: 1) $f(x) = \frac{1}{3}x + 12$ $$\frac{1}{3}x + 12 = 0$$ $$\frac{1}{3}x = -12$$ $$x = -12 \cdot 3 = -36$$ **Ответ: -36** 2) $f(x) = 6x^2 + 5x + 1$ $$6x^2 + 5x + 1 = 0$$ $D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$ $x_1 = \frac{-5 + 1}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$ $x_2 = \frac{-5 - 1}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$ **Ответ: -1/2; -1/3** 3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$ $$\sqrt{x^2 - 4} = 0$$ $$x^2 - 4 = 0$$ $$(x-2)(x+2)=0$$ **Ответ: -2; 2** 4) $f(x) = -5$ Функция всегда равна -5 и никогда не равна 0. **Ответ: нулей нет** 5) $f(x) = \frac{3 - 0,2x}{x+1}$ Приравниваем числитель к нулю: $$3 - 0,2x = 0$$ $$3 = 0,2x$$ $$x = 3 : 0,2 = 15$$ Проверяем, что знаменатель не равен нулю при $x=15$: $15+1=16 \ne 0$. **Ответ: 15** 6) $f(x) = x^2 - x$ $$x^2 - x = 0$$ $$x(x-1) = 0$$ **Ответ: 0; 1** ### 262. Найдите промежутки знакопостоянства функции: Это значит найти, на каких промежутках $y>0$ (график выше оси X) и $y<0$ (график ниже оси X). 1) $y = 5x - 15$ Нуль функции: $5x - 15 = 0 \implies x=3$. $y > 0$ при $5x - 15 > 0 \implies 5x > 15 \implies x > 3$ $y < 0$ при $5x - 15 < 0 \implies 5x < 15 \implies x < 3$ **Ответ: $y>0$ при $x \in (3; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 3)$** 2) $y = -7x - 28$ Нуль функции: $-7x - 28 = 0 \implies -7x = 28 \implies x=-4$. $y > 0$ при $-7x - 28 > 0 \implies -7x > 28 \implies x < -4$ (знак меняется, так как делим на отрицательное число) $y < 0$ при $-7x - 28 < 0 \implies -7x < 28 \implies x > -4$ **Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; -4)$; $y<0$ при $x \in (-4; +\infty)$** 3) $y = x^2 - 2x + 1$ Можно заметить, что это формула $(x-1)^2$. Выражение в квадрате всегда больше или равно нулю. $y=0$ при $x=1$. Во всех остальных случаях $y>0$. **Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$; нет промежутков, где $y<0$.** 4) $y = \frac{9}{3-x}$ Функция не равна нулю. Она не определена при $x=3$. Точка $x=3$ делит ось на два промежутка. При $x<3$ (например, $x=0$), $y = \frac{9}{3} = 3 > 0$. При $x>3$ (например, $x=4$), $y = \frac{9}{3-4} = -9 < 0$. **Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; 3)$; $y<0$ при $x \in (3; +\infty)$** ### 263. Найдите промежутки знакопостоянства функции: 1) $y = -4x + 8$ Нуль функции: $-4x+8=0 \implies x=2$. $y>0$ при $-4x+8>0 \implies 8>4x \implies 2>x$. $y<0$ при $-4x+8<0 \implies 8<4x \implies 20$ при $x \in (-\infty; 2)$; $y<0$ при $x \in (2; +\infty)$** 2) $y = -x^2 - 1$ $x^2$ всегда $\ge 0$. Значит $x^2+1$ всегда $\ge 1$. А $-x^2-1$ (то же, что $-(x^2+1)$) всегда $\le -1$. То есть $y$ всегда отрицательный. **Ответ: $y<0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$; нет промежутков, где $y>0$.** 3) $y = \sqrt{x + ...}$ **Допущение:** Последняя цифра не видна, предположим, что функция $y = \sqrt{x+1}$. Корень квадратный всегда неотрицателен, то есть $y \ge 0$. $y=0$ при $x=-1$. $y>0$ при всех остальных $x$ из области определения, то есть когда $x+1>0 \implies x>-1$. **Ответ: $y>0$ при $x \in (-1; +\infty)$; нет промежутков, где $y<0$.** ### 264. Начертите график какой-либо функции, определённой на множестве всех действительных чисел, нулями которой являются числа: 2) -4, -1, 0 и 4. Нули функции — это точки, где график пересекает ось $x$. Тебе нужно нарисовать любую кривую линию, которая проходит через точки $(-4, 0)$, $(-1, 0)$, $(0, 0)$ и $(4, 0)$ на координатной плоскости. Это может выглядеть как волна или буква "W", которая пересекает горизонтальную ось (ось X) в указанных точках. Надеюсь, стало понятнее! Если что, обращайся.