Заполните таблицу о количестве диагоналей в многоугольниках.

Привет! Давай разберёмся с этой задачкой. Она совсем не сложная. ### Заполнение таблицы Диагональ — это отрезок, который соединяет две **несоседние** вершины многоугольника. Давай посчитаем, сколько их может быть. Вот заполненная таблица: | Число вершин многоугольника | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ... | n | |:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | Число диагоналей, выходящих из одной вершины | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ... | $n-3$ | | Общее число диагоналей | 0 | 2 | 5 | 9 | 14 | ... | $\frac{n(n-3)}{2}$ | ### Как мы это посчитали? 1. **Число диагоналей из одной вершины** Из любой вершины нельзя провести диагональ к самой себе и к двум соседним вершинам (потому что это будут стороны многоугольника). Получается, из каждой вершины мы вычитаем 3 точки, к которым нельзя провести диагональ. * Для 4-угольника: $4 - 3 = 1$ диагональ. * Для 5-угольника: $5 - 3 = 2$ диагонали. * Для n-угольника формула будет: $n-3$. 2. **Общее число диагоналей** Чтобы найти общее число, мы берём количество вершин ($n$) и умножаем на число диагоналей, выходящих из каждой ($n-3$). Но так мы посчитаем каждую диагональ дважды (например, из вершины А в С и из С в А — это одна и та же диагональ). Поэтому результат нужно разделить на 2. * Получаем общую формулу: $$D = \frac{n(n-3)}{2}$$ * **Для 4-угольника:** $D = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$ диагонали. * **Для 5-угольника:** $D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$ диагоналей. * **Для 6-угольника:** $D = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ диагоналей. * **Для 7-угольника:** $D = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14$ диагоналей. Видишь, всё просто! Если остались вопросы, спрашивай.