Какое из следующих утверждений верно: 1) {a} ∈ {a, b};

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по теории множеств. Это очень интересная тема! ### Задание 1.5 **Какое из следующих утверждений верно?** Давай посмотрим на знаки: * `∈` — «принадлежит». Этот знак ставится между элементом и множеством. Например, $a ∈ \{a, b\}$ означает, что `a` — это один из элементов множества `\{a, b\}`. * `⊂` — «является подмножеством». Этот знак ставится между двумя множествами. Например, $X ⊂ Y$ означает, что все элементы множества `X` также есть и во множестве `Y`. Теперь разберём варианты: 1) $\{a\} ∈ \{a, b\}$. Неверно. Элементы множества `\{a, b\}` — это `a` и `b`, а не множество `\{a\}`. 2) $\{a\} ⊂ \{a, b\}$. **Верно!** Множество `\{a\}` состоит из одного элемента `a`. Этот элемент есть и в множестве `\{a, b\}`. Значит, `\{a\}` является подмножеством `\{a, b\}`. 3) $a ⊂ \{a, b\}$. Неверно. `a` — это элемент, а не множество, поэтому он не может быть подмножеством. 4) $\{a, b\} ∈ \{a, b\}$. Неверно. Множество не может быть своим собственным элементом (в данном случае). **Правильный ответ: 2** ### Задание 1.6 **Докажите, что если $A ⊂ B$ и $B ⊂ C$, то $A ⊂ C$.** Это свойство называется *транзитивностью*. Доказать его очень просто, если рассуждать по шагам. 1. Что значит $A ⊂ B$? Это значит, что любой элемент из множества `A` обязательно есть и в множестве `B`. 2. Что значит $B ⊂ C$? Это значит, что любой элемент из множества `B` обязательно есть и в множестве `C`. 3. Нам нужно доказать, что $A ⊂ C$. То есть, что любой элемент из `A` есть и в `C`. Давай представим, что мы взяли какой-нибудь элемент, назовём его `x`, из множества `A`. * Раз `x` находится в `A`, а $A ⊂ B$, то `x` точно есть и в `B`. * Теперь мы знаем, что `x` находится в `B`. А так как $B ⊂ C$, то `x` точно есть и в `C`. Вот и всё! Мы взяли любой элемент `x` из `A` и показали, что он обязательно будет и в `C`. А это и есть доказательство того, что $A ⊂ C$. Что и требовалось доказать! ### Задание 1.7 **Запишите с помощью символа ⊂ соотношение между множествами:** $A = \{x | x = 2n, n ∈ N\}$ — множество всех чётных натуральных чисел. $B = \{x | x = 50n, n ∈ N\}$ — множество чисел, кратных 50. $C = \{x | x = 10n, n ∈ N\}$ — множество чисел, кратных 10. $D = \{x | x = 5n, n ∈ N\}$ — множество чисел, кратных 5. Давай подумаем, какое множество «входит» в какое. * Любое число, которое делится на 50 (множество B), делится и на 10. Например, 50, 100, 150. Значит, все элементы из B есть в C. Получаем: $$B ⊂ C$$ * Любое число, которое делится на 10 (множество C), делится и на 5. Например, 10, 20, 30. Значит, все элементы из C есть в D. Получаем: $$C ⊂ D$$ * Любое число, которое делится на 10 (множество C), является чётным. Значит, все элементы из C есть в A. Получаем: $$C ⊂ A$$ * Так как все элементы из B есть в C, а все из C есть в D, то и все элементы из B есть в D. Получаем: $$B ⊂ D$$ * Так как все элементы из B есть в C, а все из C есть в A, то и все элементы из B есть в A. Получаем: $$B ⊂ A$$ **Ответ:** $$B ⊂ C$$ $$C ⊂ D$$ $$C ⊂ A$$ Можно записать это в виде цепочек: $B ⊂ C ⊂ D$ и $B ⊂ C ⊂ A$.