Найди производную функции 1/4*x^8 + 3sin(3x)

Привет! Давай разберёмся, как находить производные. Это совсем не сложно! **2) Найдём производную функции** $y = \frac{1}{4}x^8 + 3\sin(3x)$ Это сумма двух выражений, поэтому мы можем найти производную каждого по отдельности, а потом сложить результаты. * **Первая часть:** $\frac{1}{4}x^8$ Используем правило для производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. $$(\frac{1}{4}x^8)' = \frac{1}{4} \cdot (x^8)' = \frac{1}{4} \cdot 8x^{8-1} = \frac{8}{4}x^7 = 2x^7$$ * **Вторая часть:** $3\sin(3x)$ Это сложная функция. Сначала берём производную от синуса (это косинус), а потом умножаем на производную того, что стоит внутри синуса (то есть $3x$). $$ (3\sin(3x))' = 3 \cdot (\sin(3x))' = 3 \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 3 \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 9\cos(3x) $$ * **Теперь сложим всё вместе:** $$y' = 2x^7 + 9\cos(3x)$$ **Ответ: $2x^7 + 9\cos(3x)$** **5) Теперь найдём производную функции** $y = \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln(4x)$ Здесь действуем точно так же: находим производную для каждого слагаемого. * **Первая часть:** $\frac{1}{3x^3}$ Чтобы было удобнее, перепишем это выражение как $\frac{1}{3}x^{-3}$. Теперь снова используем правило для степени. $$(\frac{1}{3}x^{-3})' = \frac{1}{3} \cdot (-3)x^{-3-1} = -1 \cdot x^{-4} = -\frac{1}{x^4}$$ * **Вторая часть:** $\frac{1}{2}\ln(4x)$ Это опять сложная функция. Производная от натурального логарифма $\ln(x)$ — это $\frac{1}{x}$. Мы берём производную от логарифма и умножаем на производную его аргумента ($4x$). $$(\frac{1}{2}\ln(4x))' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4x} \cdot (4x)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4x} \cdot 4 = \frac{4}{8x} = \frac{1}{2x}$$ * **Складываем результаты:** $$y' = -\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}$$ **Ответ: $-\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}$**