Реши уравнение 3^{2x} − 3^x − 702 = 0

Привет! Давай разберёмся с этими уравнениями. Это показательные уравнения, и они часто решаются через замену переменной, чтобы свести их к более простым, квадратным уравнениям. Давай пройдёмся по каждому. 1) $3^{2x} - 3^x - 702 = 0$ Здесь можно заметить, что $3^{2x} = (3^x)^2$. Давай сделаем замену: пусть $t = 3^x$. Важно помнить, что $t$ должно быть больше нуля, так как показательная функция всегда положительна. Получаем квадратное уравнение: $$t^2 - t - 702 = 0$$ Находим его корни через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-702) = 1 + 2808 = 2809 = 53^2$ $t_1 = \frac{1 + 53}{2} = 27$ $t_2 = \frac{1 - 53}{2} = -26$ Корень $t_2 = -26$ нам не подходит, так как $t > 0$. Остаётся $t_1 = 27$. Возвращаемся к нашей замене: $3^x = 27$ Так как $27 = 3^3$, то $3^x = 3^3$ $x = 3$ **Ответ: 3** 2) $4^x - 2^x = 12$ Перенесём 12 влево и заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. $(2^x)^2 - 2^x - 12 = 0$ Сделаем замену $t = 2^x$ (где $t > 0$): $t^2 - t - 12 = 0$ По теореме Виета находим корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$. Корень $t_2 = -3$ не подходит. Возвращаемся к замене: $2^x = 4$ $2^x = 2^2$ $x = 2$ **Ответ: 2** 3) $3^{2x-1} - 3^{x-1} = 2$ Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $\frac{3^{2x}}{3} - \frac{3^x}{3} = 2$ Умножим всё уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей: $3^{2x} - 3^x = 6$ $(3^x)^2 - 3^x - 6 = 0$ Делаем замену $t = 3^x$ (где $t > 0$): $t^2 - t - 6 = 0$ Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$. Корень $t_2 = -2$ не подходит. Возвращаемся к замене: $3^x = 3$ $3^x = 3^1$ $x = 1$ **Ответ: 1** 4) $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x = 4$ Заметим, что $9^x = (3^x)^2$. Перенесём 4 влево: $3 \cdot (3^x)^2 + 11 \cdot 3^x - 4 = 0$ Замена $t = 3^x$ ($t > 0$): $3t^2 + 11t - 4 = 0$ Решаем через дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$ $t_1 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $t_2 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$ Корень $t_2 = -4$ не подходит. Возвращаемся к замене: $3^x = \frac{1}{3}$ $3^x = 3^{-1}$ $x = -1$ **Ответ: -1** 5) $9^x - 3^x - 6 = 0$ Заменяем $9^x$ на $(3^x)^2$: $(3^x)^2 - 3^x - 6 = 0$ Замена $t = 3^x$ ($t > 0$): $t^2 - t - 6 = 0$ Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$. Корень $t_2 = -2$ не подходит. Возвращаемся к замене: $3^x = 3$ $x = 1$ **Ответ: 1** 6) $5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$ Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $5^{2x} \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$ $5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$ Замена $t = 5^x$ ($t > 0$): $5t^2 + 4t - 1 = 0$ Решаем через дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$ $t_1 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ $t_2 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$ Корень $t_2 = -1$ не подходит. Возвращаемся к замене: $5^x = \frac{1}{5}$ $5^x = 5^{-1}$ $x = -1$ **Ответ: -1** 7) $3^{2x+5} - 3^{x+2} = 2$ Раскладываем степени: $3^{2x} \cdot 3^5 - 3^x \cdot 3^2 - 2 = 0$ $243 \cdot (3^x)^2 - 9 \cdot 3^x - 2 = 0$ Замена $t = 3^x$ ($t > 0$): $243t^2 - 9t - 2 = 0$ Решаем через дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 243 \cdot (-2) = 81 + 1944 = 2025 = 45^2$ $t_1 = \frac{9 + 45}{2 \cdot 243} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}$ $t_2 = \frac{9 - 45}{2 \cdot 243} = \frac{-36}{486}$ Корень $t_2$ отрицательный, он не подходит. Возвращаемся к замене: $3^x = \frac{1}{9}$ $3^x = 3^{-2}$ $x = -2$ **Ответ: -2** 8) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$ Заменяем $16^x$ на $(4^x)^2$: $(4^x)^2 - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$ Замена $t = 4^x$ ($t > 0$): $t^2 - 17t + 16 = 0$ По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 16$. Оба корня положительные, значит, у нас будет два решения. Случай 1: $4^x = 1$ $4^x = 4^0$ $x_1 = 0$ Случай 2: $4^x = 16$ $4^x = 4^2$ $x_2 = 2$ **Ответ: 0; 2**