Привет! Давай разберёмся с этими показательными уравнениями. Почти все они решаются одним и тем же хитрым способом — заменой переменной. Мы превратим их в обычные квадратные уравнения, которые ты уже умеешь решать. Давай по порядку!
1) $3^{2x} - 3^x - 702 = 0$
Заметим, что $3^{2x} = (3^x)^2$. Сделаем замену: пусть $t = 3^x$. Тогда уравнение примет вид:
$$t^2 - t - 702 = 0$$
Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-702) = 1 + 2808 = 2809 = 53^2$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{1 + 53}{2} = 27$
$t_2 = \frac{1 - 53}{2} = -26$
Теперь вернёмся к нашей замене $t = 3^x$:
1. $3^x = 27 \implies 3^x = 3^3 \implies x = 3$
2. $3^x = -26$. Это уравнение не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна.
**Ответ: 3**
2) $4^x - 2^x = 12$
Перенесём 12 влево и заметим, что $4^x = (2^x)^2$.
$$ (2^x)^2 - 2^x - 12 = 0$$
Сделаем замену $t = 2^x$:
$$t^2 - t - 12 = 0$$
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.
Возвращаемся к замене:
1. $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2$
2. $2^x = -3$. Решений нет.
**Ответ: 2**
3) $3^{2x-1} - 3^{x-1} = 2$
Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$$\frac{3^{2x}}{3} - \frac{3^x}{3} = 2$$
Умножим всё уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:
$$(3^x)^2 - 3^x = 6$$
$$(3^x)^2 - 3^x - 6 = 0$$
Пусть $t = 3^x$:
$$t^2 - t - 6 = 0$$
Корни по теореме Виета: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.
Возвращаемся к замене:
1. $3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$
2. $3^x = -2$. Решений нет.
**Ответ: 1**
4) $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x = 4$
Заметим, что $9^x = (3^x)^2$ и перенесём 4 влево:
$$3 \cdot (3^x)^2 + 11 \cdot 3^x - 4 = 0$$
Пусть $t = 3^x$:
$$3t^2 + 11t - 4 = 0$$
Дискриминант $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.
$t_1 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$t_2 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$
Возвращаемся к замене:
1. $3^x = \frac{1}{3} \implies 3^x = 3^{-1} \implies x = -1$
2. $3^x = -4$. Решений нет.
**Ответ: -1**
5) $9^x - 3^x - 6 = 0$
Это уравнение очень похоже на третье. Заменяем $9^x$ на $(3^x)^2$:
$$(3^x)^2 - 3^x - 6 = 0$$
Пусть $t = 3^x$, тогда $t^2 - t - 6 = 0$. Корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.
Возвращаемся к замене:
1. $3^x = 3 \implies x = 1$
2. $3^x = -2$. Решений нет.
**Ответ: 1**
6) $5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$$5^{2x} \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$$
$$5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$$
Пусть $t = 5^x$:
$$5t^2 + 4t - 1 = 0$$
Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.
$t_1 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$t_2 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = -1$
Возвращаемся к замене:
1. $5^x = \frac{1}{5} \implies 5^x = 5^{-1} \implies x = -1$
2. $5^x = -1$. Решений нет.
**Ответ: -1**
7) $3^{2x+5} - 3^{x+2} = 2$
Распишем степени:
$$3^{2x} \cdot 3^5 - 3^x \cdot 3^2 - 2 = 0$$
$$243 \cdot (3^x)^2 - 9 \cdot 3^x - 2 = 0$$
Пусть $t = 3^x$:
$$243t^2 - 9t - 2 = 0$$
Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 243 \cdot (-2) = 81 + 1944 = 2025 = 45^2$.
$t_1 = \frac{9 + 45}{2 \cdot 243} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}$
$t_2 = \frac{9 - 45}{2 \cdot 243} = \frac{-36}{486}$
Возвращаемся к замене:
1. $3^x = \frac{1}{9} \implies 3^x = 3^{-2} \implies x = -2$
2. $3^x = -\frac{36}{486}$. Решений нет.
**Ответ: -2**
8) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$
Заменяем $16^x$ на $(4^x)^2$:
$$(4^x)^2 - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$$
Пусть $t = 4^x$:
$$t^2 - 17t + 16 = 0$$
По теореме Виета корни: $t_1 = 16$ и $t_2 = 1$.
Возвращаемся к замене:
1. $4^x = 16 \implies 4^x = 4^2 \implies x = 2$
2. $4^x = 1 \implies 4^x = 4^0 \implies x = 0$
**Ответ: 0; 2**
