Какие из следующих величин являются векторными: скорость, масса, сила, время, температура, длина, площадь, работа?

Привет! Давай вместе разберёмся с этими задачами по векторам. Это очень интересная тема! ### Задача 744 Нам нужно найти векторные величины. Давай вспомним: * **Скалярные величины** — это те, у которых есть только значение (величина). Например, масса 5 кг или время 10 секунд. * **Векторные величины** — это те, у которых есть и значение (величина), и направление. Например, ветер дует со скоростью 15 м/с на север. Теперь посмотрим на наш список: * **Скорость:** Важно не только как быстро, но и куда движется объект. Это вектор. * **Масса:** Просто величина (например, 2 кг). Направления нет. Это скаляр. * **Сила:** Мы всегда прикладываем силу в каком-то направлении (например, толкаем стол вперёд). Это вектор. * **Время, температура, длина, площадь, работа:** У этих величин нет направления, только значение. Это скаляры. **Ответ:** Векторные величины — **скорость** и **сила**. ### Задача 745 У нас есть прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 3$ см и $BC = 4$ см. Точка $M$ — середина $AB$. Нам нужно найти длины (модули) разных векторов. Длина вектора — это просто длина отрезка между его началом и концом. * $|\vec{AB}|$: Длина стороны $AB$. Она равна **3 см**. * $|\vec{BC}|$: Длина стороны $BC$. Она равна **4 см**. * $|\vec{DC}|$: В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $DC = AB$. Длина равна **3 см**. * $|\vec{MA}|$: $M$ — середина $AB$, значит, она делит сторону пополам. $MA = AB / 2 = 3 / 2 = \textbf{1,5 см}$. * $|\vec{CB}|$: Длина этого вектора такая же, как у $\vec{BC}$. Она равна **4 см**. * $|\vec{AC}|$: Это диагональ прямоугольника. Найдём её по теореме Пифагора для треугольника $ABC$ (угол $B$ прямой): $$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$ $$AC = \sqrt{25} = \textbf{5 см}$$ * $|\vec{MC}|$: Найдём эту длину из прямоугольного треугольника $MBC$ (угол $B$ прямой). Мы знаем, что $BC = 4$ см, а $MB = 1,5$ см. $$MC^2 = MB^2 + BC^2 = (1,5)^2 + 4^2 = 2,25 + 16 = 18,25$$ $$MC = \sqrt{18,25} \text{ см} \approx \textbf{4,27 см}$$ ### Задача 746 Дана прямоугольная трапеция $ABCD$. Угол $A=90^\circ$, $AD=12$ см, $AB=5$ см, угол $D=45^\circ$. Ищем длины векторов. * $|\vec{BD}|$: Это диагональ. Найдём её из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора: $$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$ $$BD = \sqrt{169} = \textbf{13 см}$$ * $|\vec{CD}|$: Проведём высоту $CH$ из точки $C$ на основание $AD$. Получится прямоугольник $ABCH$ и прямоугольный треугольник $CHD$. * Высота $CH = AB = 5$ см. * В треугольнике $CHD$ угол $H=90^\circ$, а угол $D=45^\circ$. Значит, он равнобедренный, и $HD = CH = 5$ см. * Теперь найдём $CD$ по теореме Пифагора: $$CD^2 = CH^2 + HD^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$$ $$CD = \sqrt{50} = \textbf{5√2 см}$$ * $|\vec{AC}|$: Найдём длину диагонали $AC$. Для этого рассмотрим треугольник $ACD$. Мы знаем стороны $AD=12$, $CD=5\sqrt{2}$ и угол $D=45^\circ$. Можно найти $AC$ по теореме косинусов: $$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$$ $$AC^2 = 12^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 12 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$$ $$AC^2 = 144 + 50 - 120\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 194 - 120 = 74$$ $$AC = \textbf{√74 см}$$ ### Задача 747 Ищем коллинеарные векторы. Это векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. * **Сонаправленные** — смотрят в одну сторону ($\uparrow\uparrow$). * **Противоположно направленные** — смотрят в разные стороны ($\uparrow\downarrow$). а) **Параллелограмм MNPQ:** Противоположные стороны параллельны. * Пары сонаправленных векторов: $\vec{MN}$ и $\vec{QP}$; $\vec{MQ}$ и $\vec{NP}$. * Пары противоположно направленных векторов: $\vec{MN}$ и $\vec{PQ}$; $\vec{MQ}$ и $\vec{PN}$. б) **Трапеция ABCD (основания AD и BC):** Основания $AD$ и $BC$ параллельны. * Сонаправленные: $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$. * Противоположно направленные: $\vec{AD}$ и $\vec{CB}$. в) **Треугольник FGH:** Стороны треугольника не параллельны друг другу. * **Коллинеарных векторов, образованных сторонами, нет.** ### Задача 748 Проверяем равенство векторов в параллелограмме $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $O$. Чтобы векторы были равны, они должны быть сонаправлены и иметь одинаковую длину. а) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$: * Стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ направлены в одну сторону. * **Да, векторы равны.** б) $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$: * Стороны $BC$ и $DA$ параллельны и равны. Но вектор $\vec{BC}$ направлен от $B$ к $C$, а вектор $\vec{DA}$ — от $D$ к $A$. Они смотрят в противоположные стороны. * **Нет, векторы не равны.** (Они противоположны: $\vec{BC} = -\vec{DA}$) в) $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$: * Диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам. Значит, длины $AO$ и $OC$ равны. * Точки $A, O, C$ лежат на одной прямой. Векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ направлены в одну сторону (от $A$ к $C$). * **Да, векторы равны.** г) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$: * Это векторы диагоналей. Они лежат на разных прямых (пересекаются), то есть не коллинеарны. В общем случае у них и длины разные. * **Нет, векторы не равны.**