Найди значение выражения (8/19 - 17/38) * 19/5

Привет! Давай вместе разберёмся с этой контрольной. Всё не так сложно, как кажется. **1. Найдите значение выражения $(\frac{8}{19} - \frac{17}{38}) \cdot \frac{19}{5}$** Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 19 и 38 — это 38. $$ \frac{8}{19} = \frac{8 \cdot 2}{19 \cdot 2} = \frac{16}{38} $$ Теперь вычитаем: $$ \frac{16}{38} - \frac{17}{38} = \frac{16 - 17}{38} = -\frac{1}{38} $$ Осталось умножить результат на вторую дробь: $$ -\frac{1}{38} \cdot \frac{19}{5} = -\frac{1 \cdot 19}{38 \cdot 5} $$ Сократим 19 и 38 (ведь $38 = 2 \cdot 19$): $$ -\frac{1}{2 \cdot 5} = -\frac{1}{10} = -0.1 $$ **Ответ: -0,1** **2. Какое из данных чисел принадлежит промежутку $[7; 8]$?** Нам нужно найти число, которое больше или равно 7 и меньше или равно 8. Чтобы сравнить числа под корнем, давай возведём концы промежутка в квадрат: $$ 7^2 = 49 $$ $$ 8^2 = 64 $$ Теперь ищем, подкоренное выражение какого из вариантов находится между 49 и 64. 1) $\sqrt{7}$ (7 < 49) - не подходит. 2) $\sqrt{8}$ (8 < 49) - не подходит. 3) $\sqrt{42}$ (42 < 49) - не подходит. 4) $\sqrt{61}$ (49 < 61 < 64) - подходит! **Правильный ответ: 4** **3. Какое из данных ниже выражений при любых значениях n равно произведению $36 \cdot 6^n$?** Давай представим число 36 как степень с основанием 6. Мы знаем, что $36 = 6 \cdot 6 = 6^2$. Теперь подставим это в наше выражение: $$ 36 \cdot 6^n = 6^2 \cdot 6^n $$ При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $$ 6^2 \cdot 6^n = 6^{2+n} $$ Этот вариант совпадает с первым. **Правильный ответ: 1** **4. Решите уравнение $x^2+3x=10$.** Это квадратное уравнение. Перенесём всё в левую часть, чтобы справа был ноль: $$ x^2 + 3x - 10 = 0 $$ Можно решить через дискриминант или по теореме Виета. Давай используем теорему Виета. Нам нужно найти два числа, произведение которых равно -10, а сумма равна -3. Подбираем: -5 и 2. Проверим: $$ (-5) \cdot 2 = -10 $$ $$ -5 + 2 = -3 $$ Всё верно! **Ответ: -5; 2** **5. Установите соответствие между графиками функций и формулами.** * **График А** — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке (0, 2). Такая парабола получается, если график $y=x^2$ поднять на 2 единицы вверх. Этому описанию соответствует формула 1) $y = x^2 + 2$. * **График Б** — это прямая линия, проходящая через начало координат. Это график прямой пропорциональности $y=kx$. Этому описанию соответствует формула 3) $y=2x$. * **График В** — это гипербола. По типу функции (гипербола) подходит только формула 2) $y=-\frac{2}{x}$. Заполняем таблицу: А -> 1 Б -> 3 В -> 2 **Ответ: 132** **6. Дана арифметическая прогрессия: $-1, -3, -5, \dots$ Найдите десятый член этой прогрессии.** Первый член прогрессии $a_1 = -1$. Найдём разность прогрессии $d$: $$ d = a_2 - a_1 = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2 $$ Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Нам нужен десятый член, значит, n = 10: $$ a_{10} = -1 + (10-1) \cdot (-2) = -1 + 9 \cdot (-2) = -1 - 18 = -19 $$ **Ответ: -19** **7. Упростите выражение $(1-2c)^2 - 4c(c+1)$ и найдите его значение при $c = -\frac{1}{4}$.** Сначала упростим выражение. Раскроем скобки. Первую — по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Вторую — умножением: $$ (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2c + (2c)^2) - (4c \cdot c + 4c \cdot 1) = (1 - 4c + 4c^2) - (4c^2 + 4c) $$ $$ 1 - 4c + 4c^2 - 4c^2 - 4c $$ Приведём подобные слагаемые: $$ 1 - 8c $$ Теперь подставим значение $c = -\frac{1}{4}$: $$ 1 - 8 \cdot (-\frac{1}{4}) = 1 + \frac{8}{4} = 1 + 2 = 3 $$ **Ответ: 3** **8. Укажите множество решений системы неравенств.** Система: $$ \begin{cases} x > 1 \\ 4 - x > 0 \end{cases} $$ Первое неравенство уже решено: $x > 1$. Решим второе: $$ 4 - x > 0 $$ $$ 4 > x $$ То есть $x < 4$. Теперь объединим оба условия: $x$ должен быть одновременно больше 1 и меньше 4. $$ 1 < x < 4 $$ Это можно записать в виде интервала $(1; 4)$. **Ответ: $(1; 4)$** **(без номера) Решите систему уравнений.** Система: $$ \begin{cases} x^2 + y = 7 \\ 2x^2 - y = 5 \end{cases} $$ Здесь удобно использовать метод сложения, потому что при сложении уравнений $y$ и $-y$ взаимно уничтожатся. Сложим левые и правые части уравнений: $$ (x^2 + y) + (2x^2 - y) = 7 + 5 $$ $$ 3x^2 = 12 $$ Разделим обе части на 3: $$ x^2 = 4 $$ Отсюда получаем два значения для $x$: $$ x_1 = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = -2 $$ Теперь найдём $y$ для каждого $x$. Подставим значения $x$ в первое уравнение $y = 7 - x^2$. Если $x_1 = 2$: $$ y_1 = 7 - 2^2 = 7 - 4 = 3 $$ Если $x_2 = -2$: $$ y_2 = 7 - (-2)^2 = 7 - 4 = 3 $$ Получили две пары решений. **Ответ: (2; 3), (-2; 3)**