Пусть a < 0, b < 0. Докажи, что 3a + 4b < 0.

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Это задачи на свойства неравенств, они не такие сложные, как кажутся. ### 8. Доказательство неравенств при $a<0, b<0$ Здесь нам дано, что числа $a$ и $b$ — отрицательные. 1) **Доказать, что $3a + 4b < 0$** * Если мы умножим отрицательное число $a$ на положительное число 3, результат $3a$ будет отрицательным. * Точно так же, если умножить отрицательное число $b$ на положительное число 4, результат $4b$ тоже будет отрицательным. * Сумма двух отрицательных чисел ($3a$ и $4b$) всегда является отрицательным числом. * Значит, $3a + 4b < 0$. Доказано! 2) **Доказать, что $2a(a+b) > 0$** * Сначала разберёмся со скобкой $(a+b)$. Сумма двух отрицательных чисел $a$ и $b$ — это отрицательное число. Значит, $(a+b) < 0$. * Теперь посмотрим на множитель $2a$. Так как $a$ — отрицательное, то $2a$ тоже будет отрицательным. * Получается, нам нужно умножить одно отрицательное число ($2a$) на другое отрицательное число ($(a+b)$). * А мы знаем правило: "минус на минус даёт плюс". Поэтому произведение двух отрицательных чисел всегда положительно. * Значит, $2a(a+b) > 0$. Доказано! ### 9. Доказательство неравенств при $a>0, b<0$ Здесь $a$ — положительное число, а $b$ — отрицательное. 1) **Доказать, что $a-b > 0$** * Выражение $a-b$ можно записать как $a + (-b)$. * Раз $b$ — отрицательное, то $-b$ будет положительным. * Мы складываем два положительных числа: $a$ и $(-b)$. Сумма всегда будет положительной. * Значит, $a-b > 0$. Доказано! 2) **Доказать, что $b-a < 0$** * Выражение $b-a$ можно записать как $b + (-a)$. * Раз $a$ — положительное, то $-a$ будет отрицательным. * Мы складываем два отрицательных числа: $b$ и $(-a)$. Сумма всегда будет отрицательной. * Значит, $b-a < 0$. Доказано! 3) **Доказать, что $a^2b + b^3 < 0$** * Рассмотрим первое слагаемое $a^2b$. Число $a^2$ всегда положительное (квадрат любого числа, кроме нуля, положителен), а $b$ у нас отрицательное. Произведение положительного и отрицательного числа даёт отрицательное. Значит, $a^2b < 0$. * Теперь второе слагаемое $b^3$. Отрицательное число в нечётной степени (3) всегда остаётся отрицательным. Значит, $b^3 < 0$. * Сумма двух отрицательных чисел ($a^2b$ и $b^3$) будет отрицательной. * Значит, $a^2b + b^3 < 0$. Доказано! 4) **Доказать, что $ab^3 + a^3b < 0$** * Разберём первое слагаемое $ab^3$. Число $a$ положительное, а $b^3$ отрицательное. Произведение положительного и отрицательного — отрицательное. Так что $ab^3 < 0$. * Второе слагаемое $a^3b$. Число $a^3$ положительное (положительное число в любой степени), а $b$ отрицательное. Произведение снова отрицательное. Так что $a^3b < 0$. * Сумма двух отрицательных чисел ($ab^3$ и $a^3b$) будет отрицательной. * Значит, $ab^3 + a^3b < 0$. Доказано! ### 10. Определить знак выражения Здесь не нужно считать, только понять, какой будет знак у результата: плюс или минус. * **Правила знаков:** * Отрицательное число в **чётной** степени (2, 4, 6...) становится **положительным**. * Отрицательное число в **нечётной** степени (1, 3, 5...) остаётся **отрицательным**. * $(-) \cdot (+) = (-)$ * $(-) \cdot (-) = (+)$ 1) **$(-17) \cdot (-1,281)^2$** * $(-17)$ — отрицательное. * $(-1,281)^2$ — положительное (так как степень чётная). * Умножаем отрицательное на положительное: $(-) \cdot (+) = (-)$. * **Ответ: значение отрицательное.** 2) **$(-2,23)^3 \cdot (-0,54)^2$** * $(-2,23)^3$ — отрицательное (степень нечётная). * $(-0,54)^2$ — положительное (степень чётная). * Умножаем отрицательное на положительное: $(-) \cdot (+) = (-)$. * **Ответ: значение отрицательное.** 3) **$(-0,37)^3 + (-2,7)^5$** * $(-0,37)^3$ — отрицательное (степень нечётная). * $(-2,7)^5$ — отрицательное (степень нечётная). * Складываем два отрицательных числа: $(-)+(-)=(-)$. * **Ответ: значение отрицательное.** 4) **$(-3,21)^2 - (-45,4)^3$** * $(-3,21)^2$ — положительное (степень чётная). * $(-45,4)^3$ — отрицательное (степень нечётная). * Получаем: (положительное число) - (отрицательное число). * Вычесть отрицательное — это то же самое, что прибавить положительное. $(+) - (-) = (+) + (+)$. * Сумма двух положительных чисел — положительное число. * **Ответ: значение положительное.** ### 11. Доказательство для любого значения $a$ **Допущение:** В условии нужно доказать, что значение каждого выражения является положительным. 1) **$2 - \frac{1}{a^2+1}$** * Выражение $a^2$ всегда больше или равно нулю ($a^2 \ge 0$). * Значит, знаменатель $a^2+1$ всегда больше или равен единице ($a^2+1 \ge 1$). * Тогда дробь $\frac{1}{a^2+1}$ всегда будет в пределах от 0 (не включая) до 1 (включая). * Мы вычитаем из двойки число, которое не больше единицы. Результат всегда будет положительным (от 1 до 2). * Что и требовалось доказать. 2) **$a^2 + \frac{1-a^2}{1+a^2}$** * Приведём всё к общему знаменателю: $$a^2 + \frac{1-a^2}{1+a^2} = \frac{a^2(1+a^2) + (1-a^2)}{1+a^2} = \frac{a^2+a^4+1-a^2}{1+a^2} = \frac{a^4+1}{a^2+1}$$ * В числителе $a^4+1$. Так как $a^4 \ge 0$, то $a^4+1$ всегда положительно. * В знаменателе $a^2+1$. Так как $a^2 \ge 0$, то $a^2+1$ тоже всегда положительно. * Деление положительного числа на положительное даёт положительный результат. * Что и требовалось доказать. 3) **$(3a+2)^2 - 6a(a+2)$** * Раскроем скобки и упростим: $$(9a^2 + 12a + 4) - (6a^2 + 12a) = 9a^2 + 12a + 4 - 6a^2 - 12a = 3a^2 + 4$$ * Выражение $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), значит $3a^2 \ge 0$. * Если к неотрицательному числу прибавить 4, результат всегда будет положительным ($3a^2+4 \ge 4$). * Что и требовалось доказать. 4) **$(2a-3)^2 - 3a(a-4)$** * Тоже раскроем скобки: $$(4a^2 - 12a + 9) - (3a^2 - 12a) = 4a^2 - 12a + 9 - 3a^2 + 12a = a^2 + 9$$ * Выражение $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$). * Если к неотрицательному числу прибавить 9, результат всегда будет положительным ($a^2+9 \ge 9$). * Что и требовалось доказать. Надеюсь, всё было понятно!