Найди значение выражения (8/19 - 17/38) * 19/5.

Привет! Давай разберёмся с этой контрольной. Всё не так сложно, как кажется. ### Задание 1 Найдите значение выражения $(\frac{8}{19} - \frac{17}{38}) \cdot \frac{19}{5}$. Сначала посчитаем то, что в скобках. Чтобы вычесть дроби, приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 19 и 38 — это 38. $$ \frac{8}{19} = \frac{8 \cdot 2}{19 \cdot 2} = \frac{16}{38} $$ Теперь вычитаем: $$ \frac{16}{38} - \frac{17}{38} = -\frac{1}{38} $$ Осталось умножить результат на $\frac{19}{5}$: $$ -\frac{1}{38} \cdot \frac{19}{5} = -\frac{1 \cdot 19}{38 \cdot 5} $$ Можно сократить 19 и 38, так как $38 = 2 \cdot 19$: $$ -\frac{1 \cdot 19}{2 \cdot 19 \cdot 5} = -\frac{1}{2 \cdot 5} = -\frac{1}{10} = -0,1 $$ **Ответ: -0,1** ### Задание 2 Какое из данных чисел принадлежит промежутку $[7; 8]$? Промежуток $[7; 8]$ — это все числа от 7 до 8, включая сами 7 и 8. Чтобы понять, какое число с корнем сюда подходит, давай возведём в квадрат и наши числа, и границы промежутка. $7^2 = 49$ $8^2 = 64$ Значит, нам нужно найти такое число под корнем, которое находится между 49 и 64. Проверим варианты: 1) $\sqrt{7}$ — 7 меньше 49. Не подходит. 2) $\sqrt{8}$ — 8 меньше 49. Не подходит. 3) $\sqrt{42}$ — 42 меньше 49. Не подходит. 4) $\sqrt{61}$ — 61 как раз между 49 и 64. Подходит! **Правильный ответ: 4** ### Задание 3 Какое из данных ниже выражений при любых значениях n равно произведению $36 \cdot 6^n$? Здесь нужно вспомнить свойства степеней. Давай представим 36 как степень с основанием 6. $36 = 6 \cdot 6 = 6^2$ Теперь подставим это в наше выражение: $$ 36 \cdot 6^n = 6^2 \cdot 6^n $$ Когда мы умножаем степени с одинаковым основанием, их показатели складываются: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$. $$ 6^2 \cdot 6^n = 6^{2+n} = 6^{n+2} $$ **Правильный ответ: 1** ### Задание 4 Решите уравнение $x^2 + 3x = 10$. Это квадратное уравнение. Сначала перенесём всё в левую часть, чтобы справа остался ноль. $$ x^2 + 3x - 10 = 0 $$ Теперь решим его через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем уравнении $a=1$, $b=3$, $c=-10$. $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 $$ Дискриминант положительный, значит, будет два корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{49} = 7$. Находим корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$ x_1 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5 $$ **Ответ: 2; -5** ### Задание 5 Установите соответствие между графиками функций и формулами. Давай посмотрим на каждый график и подберём ему формулу. А) Это парабола, ветви которой смотрят вверх. Её вершина находится в точке (0, 2), то есть она смещена на 2 единицы вверх по оси Y. Это соответствует формуле $y=x^2+2$. Б) Это прямая линия, которая проходит через начало координат (0,0) и идёт вверх. Это график прямой пропорциональности $y=kx$ с положительным $k$. Формула $y=2x$ подходит. В) Это гипербола, её ветви находятся в первой и третьей координатных четвертях. Такой график описывается формулой $y = \frac{k}{x}$ с положительным $k$. Формулы: 1) $y=x^2+2$ — парабола. Соответствует графику А. 2) $y=-\frac{2}{x}$ — гипербола. Но из-за знака «минус» её ветви должны быть во второй и четвёртой четвертях. На рисунке В ветви в первой и третьей. 3) $y=2x$ — прямая. Соответствует графику Б. **Допущение:** В задании, скорее всего, опечатка. График В должен соответствовать формуле 2, несмотря на несоответствие четвертей расположения. Получаем: * А -> 1 * Б -> 3 * В -> 2 | А | Б | В | |:---:|:---:|:---:| | 1 | 3 | 2 | ### Задание 6 Дана арифметическая прогрессия: -1, -3, -5, ... Найдите десятый член этой прогрессии. Это арифметическая прогрессия. Найдём её первый член и разность. Первый член $a_1 = -1$. Разность прогрессии $d$ — это число, на которое каждый следующий член отличается от предыдущего. $d = a_2 - a_1 = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2$. Теперь найдём десятый член ($a_{10}$) по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$: $$ a_{10} = -1 + (10-1) \cdot (-2) = -1 + 9 \cdot (-2) = -1 - 18 = -19 $$ **Ответ: -19** ### Задание 7 Упростите выражение $(1 - 2c)^2 - 4c(c + 1)$ и найдите его значение при $c = -\frac{1}{4}$. Сначала упростим выражение. Раскроем скобки. Первая скобка — это квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. $$ (1-2c)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2c + (2c)^2 = 1 - 4c + 4c^2 $$ Вторую часть раскроем, умножив $-4c$ на каждый член в скобке: $$ -4c(c+1) = -4c^2 - 4c $$ Теперь соберём всё вместе: $$ (1 - 4c + 4c^2) - 4c^2 - 4c = 1 - 4c + 4c^2 - 4c^2 - 4c $$ Приведём подобные слагаемые: $$ 1 + (4c^2 - 4c^2) + (-4c - 4c) = 1 - 8c $$ Выражение упростили, теперь подставим значение $c = -\frac{1}{4}$: $$ 1 - 8 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = 1 + \frac{8}{4} = 1 + 2 = 3 $$ **Ответ: 3** ### Задание 8 Укажите множество решений системы неравенств $\begin{cases} x > 1, \\ 4-x > 0. \end{cases}$ Нужно найти такие значения $x$, которые подходят для обоих неравенств одновременно. Первое неравенство уже решено: $x > 1$. Решим второе неравенство: $4 - x > 0$ $-x > -4$ Умножим обе части на -1. Когда мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный: $x < 4$ Теперь объединим оба условия: $x$ должен быть больше 1 и одновременно меньше 4. Это можно записать так: $1 < x < 4$. В виде интервала это выглядит так: $(1; 4)$. **Ответ: (1; 4)** ### Решите систему уравнений На листе есть ещё одна задача без номера. $\begin{cases} x^2+y=7, \\ 2x^2-y=5. \end{cases}$ Эту систему удобно решать методом сложения, потому что у нас есть $+y$ и $-y$. Если мы сложим два уравнения, $y$ исчезнет. $$ (x^2 + y) + (2x^2 - y) = 7 + 5 $$ $$ 3x^2 = 12 $$ Теперь найдём $x^2$: $$ x^2 = \frac{12}{3} = 4 $$ Отсюда $x$ может быть равен 2 или -2. $$ x_1 = 2, \quad x_2 = -2 $$ Теперь для каждого $x$ найдём свой $y$. Подставим значения $x$ в первое уравнение $x^2 + y = 7$ (оно проще). Если $x_1 = 2$: $$ 2^2 + y = 7 $$ $$ 4 + y = 7 $$ $$ y = 7 - 4 = 3 $$ Получили первую пару решений: $(2; 3)$. Если $x_2 = -2$: $$ (-2)^2 + y = 7 $$ $$ 4 + y = 7 $$ $$ y = 7 - 4 = 3 $$ Получили вторую пару решений: $(-2; 3)$. **Ответ: (2; 3), (-2; 3)**