Докажи, что при a>0, b<0 выполняется неравенство a-b>0

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Всё не так сложно, как кажется! ### Задание 9 Здесь нам дано, что $a$ — положительное число ($a>0$), а $b$ — отрицательное ($b<0$). Чтобы было понятнее, давай представим, что $a=2$, а $b=-3$. 1) **Доказать, что $a-b>0$** Мы вычитаем отрицательное число из положительного. А вычитание отрицательного — это то же самое, что и сложение положительного: $a - (-b) = a + b$. Поскольку $b$ отрицательное, то $(-b)$ будет положительным. Мы складываем два положительных числа ($a$ и $-b$), и их сумма всегда будет положительной. *Например:* $2 - (-3) = 2 + 3 = 5$, а $5 > 0$. **Вывод: $a-b$ всегда больше нуля.** 2) **Доказать, что $b-a<0$** Мы вычитаем положительное число из отрицательного. От этого отрицательное число станет ещё меньше. *Например:* $-3 - 2 = -5$, а $-5 < 0$. **Вывод: $b-a$ всегда меньше нуля.** 3) **Доказать, что $a^2b + b^3 < 0$** Давай вынесем общий множитель $b$ за скобки: $$b(a^2 + b^2)$$ Теперь посмотрим на знаки: * $b$ — отрицательное число (по условию). * $a^2$ — положительное число в квадрате всегда положительно. * $b^2$ — отрицательное число в квадрате тоже всегда положительно. Значит, сумма $(a^2 + b^2)$ будет положительной. В итоге мы умножаем отрицательное число $b$ на положительное число $(a^2+b^2)$. Минус на плюс даёт минус. **Вывод: $a^2b + b^3$ всегда меньше нуля.** 4) **Доказать, что $ab^3 + a^3b < 0$** Вынесем за скобки $ab$: $$ab(b^2 + a^2)$$ Определим знаки: * $a$ — положительное, $b$ — отрицательное. Их произведение $ab$ будет отрицательным (плюс на минус даёт минус). * $(b^2+a^2)$ — как мы уже выяснили, эта сумма всегда положительна. Умножаем отрицательное число $ab$ на положительное $(b^2+a^2)$. Результат будет отрицательным. **Вывод: $ab^3 + a^3b$ всегда меньше нуля.** ### Задание 10 Тут нам не нужно считать, а только определить, какой знак будет у ответа: плюс или минус. 1) **$(-17) \cdot (-1,281)^2$** * $(-17)$ — отрицательное. * $(-1,281)^2$ — любое число в чётной степени (в квадрате) становится положительным. * Умножаем отрицательное на положительное. Минус на плюс даёт минус. **Ответ: выражение отрицательное.** 2) **$(-2,23)^3 \cdot (-0,54)$** * $(-2,23)^3$ — отрицательное число в нечётной степени (3) остаётся отрицательным. * $(-0,54)$ — отрицательное. * Умножаем отрицательное на отрицательное. Минус на минус даёт плюс. **Ответ: выражение положительное.** 3) **$(-0,37)^3 + (-2,7)^5$** * $(-0,37)^3$ — отрицательное число в нечётной степени (3) остаётся отрицательным. * $(-2,7)^5$ — отрицательное число в нечётной степени (5) тоже остаётся отрицательным. * Складываем два отрицательных числа. Сумма будет отрицательной. **Ответ: выражение отрицательное.** 4) **$(-3,21)^2 - (-45,4)$** * $(-3,21)^2$ — отрицательное число в чётной степени (2) становится положительным. * $-(-45,4)$ — это то же самое, что $+45,4$, то есть положительное число. * Складываем два положительных числа. Сумма будет положительной. **Ответ: выражение положительное.** ### Задание 11 Нужно доказать, что значение выражения всегда будет положительным при любом $a$. 1) **$2 - \frac{1}{a^2+1}$** Выражение $a^2$ всегда больше или равно нулю ($a^2 \ge 0$). Значит, знаменатель $a^2+1$ всегда будет больше или равен единице ($a^2+1 \ge 1$). Тогда вся дробь $\frac{1}{a^2+1}$ будет числом от 0 до 1. Мы из 2 вычитаем число, которое меньше или равно 1. Результат всегда будет положительным. **Вывод: выражение всегда положительное.** 2) **$a^2 + \frac{1-a^2}{1+a^2}$** Приведём к общему знаменателю: $$ a^2 + \frac{1-a^2}{1+a^2} = \frac{a^2(1+a^2) + (1-a^2)}{1+a^2} = \frac{a^2+a^4+1-a^2}{1+a^2} = \frac{a^4+1}{1+a^2} $$ * Числитель $a^4+1$: $a^4$ всегда $\ge 0$, значит $a^4+1$ всегда $\ge 1$ (положительное). * Знаменатель $1+a^2$: $a^2$ всегда $\ge 0$, значит $1+a^2$ всегда $\ge 1$ (положительное). Делим положительное число на положительное, получаем положительное. **Вывод: выражение всегда положительное.** 3) **$(3a+2)^2 - 6a(a+2)$** Раскроем скобки и упростим: $$ (9a^2 + 12a + 4) - (6a^2 + 12a) = 9a^2 + 12a + 4 - 6a^2 - 12a = 3a^2 + 4 $$ Мы знаем, что $a^2$ всегда больше или равно нулю. Значит $3a^2$ тоже $\ge 0$. А если к неотрицательному числу прибавить 4, то результат точно будет положительным. **Вывод: выражение всегда положительное.** 4) **$(2a-3)^2 - 3a(a-4)$** Снова раскроем скобки: $$ (4a^2 - 12a + 9) - (3a^2 - 12a) = 4a^2 - 12a + 9 - 3a^2 + 12a = a^2 + 9 $$ $a^2$ всегда $\ge 0$. Если к этому числу прибавить 9, то результат всегда будет положительным. **Вывод: выражение всегда положительное.** Надеюсь, всё было понятно!