Пусть a<0, b<0. Докажи, что 3a+4b<0.

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Всё не так сложно, как кажется! **8. Пусть $a<0$, $b<0$. Доказать, что:** 1) $3a+4b<0$ * Нам дано, что $a$ и $b$ — отрицательные числа. * Если отрицательное число $a$ умножить на положительное 3, получится отрицательное число ($3a<0$). * То же самое с $b$: если отрицательное число $b$ умножить на положительное 4, результат тоже будет отрицательным ($4b<0$). * Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. * **Значит, $3a+4b<0$, что и требовалось доказать.** 2) $2a(a+b)>0$ * Сумма двух отрицательных чисел ($a$ и $b$) — это отрицательное число. Значит, $(a+b)<0$. * Число $a$ у нас тоже отрицательное. * Когда мы умножаем два отрицательных числа ($a$ и $a+b$), мы получаем положительное число. То есть $a(a+b)>0$. * Если это положительное число умножить на 2, оно так и останется положительным. * **Значит, $2a(a+b)>0$, что и требовалось доказать.** **9. Пусть $a>0$, $b<0$. Доказать, что:** 1) $a-b>0$ * $a$ — положительное, $b$ — отрицательное. * Выражение $a-b$ — это то же самое, что $a+(-b)$. * Если $b$ отрицательное, то $-b$ будет положительным. * Сумма двух положительных чисел ($a$ и $-b$) всегда положительна. * **Значит, $a-b>0$.** 2) $b-a<0$ * $b$ — отрицательное, $a$ — положительное. * Мы из отрицательного числа вычитаем положительное. Это всё равно что к отрицательному числу $b$ прибавить другое отрицательное число $(-a)$. * Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. * **Значит, $b-a<0$.** 3) $a^2b+b^3<0$ * Давай вынесем $b$ за скобки: $b(a^2+b^2)$. * $a^2$ всегда положительно (или ноль, но тут $a>0$). * $b^2$ тоже всегда положительно (потому что $b<0$). * Значит, сумма $(a^2+b^2)$ — положительное число. * Мы умножаем отрицательное число $b$ на положительное число $(a^2+b^2)$. "Минус" на "плюс" даёт "минус". * **Значит, $a^2b+b^3<0$.** 4) $ab^3+a^3b<0$ * Вынесем за скобки $ab$: $ab(b^2+a^2)$. * $a$ — положительное, $b$ — отрицательное. Их произведение $ab$ будет отрицательным. * Сумма $(b^2+a^2)$ — положительная, как мы уже выяснили. * Снова умножаем отрицательное число ($ab$) на положительное ($b^2+a^2$). Получаем отрицательный результат. * **Значит, $ab^3+a^3b<0$.** **10. Не вычисляя, выяснить, положительно или отрицательно значение выражения:** 1) $(-17) \cdot (-1.281)^2$ * $(-1.281)^2$ — число положительное (любое число в квадрате положительное). * Умножаем отрицательное $(-17)$ на положительное. * **Результат отрицательный.** 2) $(-2.23)^3 \cdot (-0.54)$ * $(-2.23)^3$ — число отрицательное (отрицательное число в нечётной степени). * Умножаем отрицательное $(-2.23)^3$ на отрицательное $(-0.54)$. "Минус" на "минус" даёт "плюс". * **Результат положительный.** 3) $(-0.37)^3 + (-2.7)^5$ * $(-0.37)^3$ — отрицательное (нечётная степень). * $(-2.7)^5$ — отрицательное (нечётная степень). * Сумма двух отрицательных чисел — отрицательное число. * **Результат отрицательный.** 4) $(-3.21)^2 - (-45.4)$ * $(-3.21)^2$ — положительное (квадрат). * $-(-45.4)$ — это то же самое, что $+45.4$, то есть положительное число. * Сумма двух положительных чисел — положительное число. * **Результат положительный.** **11. Доказать, что при любом $a$ значение выражения положительно:** **Допущение:** Конец задания на фотографии обрезан, предполагаем, что нужно доказать, что значение выражения всегда положительно. 1) $2 - \frac{1}{a^2+1}$ * Квадрат любого числа $a^2$ всегда больше или равен нулю ($a^2 \ge 0$). * Значит, знаменатель $a^2+1$ всегда больше или равен 1 ($a^2+1 \ge 1$). * Тогда вся дробь $\frac{1}{a^2+1}$ будет находиться в промежутке от 0 до 1 ($0 < \frac{1}{a^2+1} \le 1$). * Мы из 2 вычитаем число, которое меньше или равно 1. * **Результат всегда будет больше или равен $2-1=1$, а значит, всегда положительный.** 2) $a^2 + \frac{1-a^2}{1+a^2}$ * Приведём к общему знаменателю: $$ a^2 + \frac{1-a^2}{1+a^2} = \frac{a^2(1+a^2) + (1-a^2)}{1+a^2} = \frac{a^2+a^4+1-a^2}{1+a^2} = \frac{a^4+1}{a^2+1} $$ * В числителе $a^4+1$ всегда положительно (так как $a^4 \ge 0$). * В знаменателе $a^2+1$ тоже всегда положительно (так как $a^2 \ge 0$). * Деление положительного числа на положительное даёт положительный результат. * **Значит, выражение всегда положительно.** 3) $(3a+2)^2 - 6a(a+2)$ * Раскроем скобки: $$ (9a^2+12a+4) - (6a^2+12a) = 9a^2+12a+4 - 6a^2-12a $$ * Упростим, убрав одинаковые слагаемые с разными знаками ($12a$ и $-12a$): $$ (9a^2-6a^2) + (12a-12a) + 4 = 3a^2+4 $$ * Мы знаем, что $a^2 \ge 0$. Значит $3a^2 \ge 0$. * Если к неотрицательному числу ($3a^2$) прибавить 4, результат всегда будет положительным (даже больше или равен 4). * **Значит, выражение всегда положительно.** 4) $(2a-3)^2 - 3a(a-4)$ * Снова раскроем скобки: $$ (4a^2-12a+9) - (3a^2-12a) = 4a^2-12a+9 - 3a^2+12a $$ * Упростим: $$ (4a^2-3a^2) + (-12a+12a) + 9 = a^2+9 $$ * $a^2$ всегда больше или равно 0. * Если к $a^2$ прибавить 9, результат всегда будет положительным (больше или равен 9). * **Значит, выражение всегда положительно.**