Упростите выражение (b^2+4)/(b^2-4) - b/(b+2)

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Всё не так сложно, как кажется! **1. Упростим выражение** Чтобы вычесть одну дробь из другой, нужно привести их к общему знаменателю. * Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители. Формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ нам в этом поможет: $$b^2 - 4 = (b-2)(b+2)$$ * Теперь выражение выглядит так: $$\frac{b^2+4}{(b-2)(b+2)} - \frac{b}{b+2}$$ * Общий знаменатель — это $(b-2)(b+2)$. Домножим вторую дробь на $(b-2)$: $$\frac{b^2+4}{(b-2)(b+2)} - \frac{b(b-2)}{(b+2)(b-2)}$$ * Теперь запишем всё под одной чертой и раскроем скобки в числителе: $$\frac{b^2+4 - b(b-2)}{(b-2)(b+2)} = \frac{b^2+4 - b^2+2b}{(b-2)(b+2)} = \frac{4+2b}{(b-2)(b+2)}$$ * Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь: $$\frac{2(2+b)}{(b-2)(b+2)} = \frac{2}{b-2}$$ **Ответ: $\frac{2}{b-2}$** **2. Решим уравнение** Это квадратное уравнение $5x^2 - 8x + 3 = 0$. Решим его через дискриминант. * Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае: $a=5$, $b=-8$, $c=3$. $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$$ * Теперь найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = 0,6$$ **Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 0,6$** **3. Решим систему уравнений** $$\begin{cases} x - y = 3 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases}$$ * Проще всего решить методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$: $$x = 3 + y$$ * Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение: $$3(3+y) + 4y = 2$$ $$9 + 3y + 4y = 2$$ $$9 + 7y = 2$$ $$7y = 2 - 9$$ $$7y = -7$$ $$y = -1$$ * Теперь, зная $y$, найдём $x$: $$x = 3 + (-1) = 2$$ **Ответ: $(2; -1)$** **4. Решим систему неравенств** $$\begin{cases} 2x + 1 < 8 \\ 3 - 2x < 0 \end{cases}$$ * Решим каждое неравенство по отдельности. Первое неравенство: $$2x + 1 < 8$$ $$2x < 7$$ $$x < 3,5$$ * Второе неравенство: $$3 - 2x < 0$$ $$3 < 2x$$ $$1,5 < x$$ * Теперь найдём общее решение. Нам нужны такие $x$, которые одновременно больше 1,5 и меньше 3,5. $$1,5 < x < 3,5$$ **Ответ: $(1,5; 3,5)$** **5. Поработаем с графиком** а) Найдём значение $y$ при $x = -2$. На графике находим точку с координатой $x = -2$. Видим, что в этой точке $y$ равен 0. **Ответ: $y=0$** б) Найдём значения $x$, при которых $y < 0$. Это те участки, где график находится ниже оси $x$. Смотрим на график и видим, что это происходит между точками $x=-2$ и $x=0$. **Ответ: $x \in (-2; 0)$** в) Найдём промежуток, в котором функция убывает. Функция убывает там, где её график идёт вниз, если смотреть слева направо. Это происходит до самой нижней точки графика (вершины). Вершина находится в точке $x = -1$. **Ответ: на промежутке $(-\infty; -1]$** **6. Решим задачу про школьников** * В 9 «А» учатся 52% всех девятиклассников. Значит, на 9 «Б» приходится оставшаяся часть: $$100\% - 52\% = 48\%$$ * Мы знаем, что эти 48% — это 24 человека. * Пусть $x$ — это общее число учеников в девятых классах. Тогда 48% от $x$ равно 24. Составим уравнение: $$0,48 \cdot x = 24$$ * Решим его: $$x = \frac{24}{0,48} = \frac{2400}{48} = 50$$ **Ответ: всего 50 учеников в девятых классах.** **7. Сравним числа** Нам нужно сравнить $24$ и $\sqrt{556}$. * Чтобы избавиться от корня, возведём оба числа в квадрат. Знак сравнения от этого не изменится, так как оба числа положительные. $$24^2 = 576$$ $$(\sqrt{556})^2 = 556$$ * Сравниваем результаты: $$576 > 556$$ * Значит, и исходные числа соотносятся так же: $$24 > \sqrt{556}$$ **Ответ: $24 > \sqrt{556}$**