Найди все натуральные значения n, при которых значение выражения (7n+4)/n является натуральным числом

Привет! Давай разберёмся с этим заданием. Здесь нужно найти такие натуральные числа $n$, чтобы результат выражения тоже был натуральным числом. Основная идея — упростить каждую дробь, разделив числитель на знаменатель по частям. **а) $\frac{7n+4}{n}$** Разделим каждое слагаемое в числителе на $n$: $$ \frac{7n+4}{n} = \frac{7n}{n} + \frac{4}{n} = 7 + \frac{4}{n} $$ Чтобы сумма была натуральным числом, дробь $\frac{4}{n}$ тоже должна давать целое число. Это возможно, если $n$ — делитель числа 4. Делители 4: 1, 2, 4. Все они — натуральные числа. **Ответ: $n$ может быть 1, 2, 4.** **б) $\frac{5n-9}{n}$** Точно так же разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{5n-9}{n} = \frac{5n}{n} - \frac{9}{n} = 5 - \frac{9}{n} $$ Чтобы результат был натуральным числом, $n$ должен быть делителем числа 9, и результат вычитания должен быть больше нуля. Делители 9: 1, 3, 9. Проверим каждый: * Если $n=1$, то $5 - \frac{9}{1} = 5 - 9 = -4$. Это не натуральное число. * Если $n=3$, то $5 - \frac{9}{3} = 5 - 3 = 2$. Это натуральное число. * Если $n=9$, то $5 - \frac{9}{9} = 5 - 1 = 4$. Это натуральное число. **Ответ: $n$ может быть 3, 9.** **в) $\frac{n^2+5n+2}{n}$** Делим каждое слагаемое на $n$: $$ \frac{n^2+5n+2}{n} = \frac{n^2}{n} + \frac{5n}{n} + \frac{2}{n} = n + 5 + \frac{2}{n} $$ Выражение $n+5$ всегда будет натуральным, так как $n$ — натуральное. Значит, $\frac{2}{n}$ должно быть целым числом. Для этого $n$ должен быть делителем 2. Делители 2: 1, 2. **Ответ: $n$ может быть 1, 2.** **г) $\frac{n^2-6n+8}{n}$** Делим почленно: $$ \frac{n^2-6n+8}{n} = \frac{n^2}{n} - \frac{6n}{n} + \frac{8}{n} = n - 6 + \frac{8}{n} $$ Чтобы результат был натуральным, $n$ должен быть делителем 8. Делители 8: 1, 2, 4, 8. Проверим каждый: * Если $n=1$, то $1 - 6 + \frac{8}{1} = -5 + 8 = 3$. Натуральное. * Если $n=2$, то $2 - 6 + \frac{8}{2} = -4 + 4 = 0$. Не натуральное. * Если $n=4$, то $4 - 6 + \frac{8}{4} = -2 + 2 = 0$. Не натуральное. * Если $n=8$, то $8 - 6 + \frac{8}{8} = 2 + 1 = 3$. Натуральное. **Ответ: $n$ может быть 1, 8.** **д) $\frac{3n^2+9n+6}{3n}$** Снова делим: $$ \frac{3n^2+9n+6}{3n} = \frac{3n^2}{3n} + \frac{9n}{3n} + \frac{6}{3n} = n + 3 + \frac{2}{n} $$ Это выражение похоже на то, что было в пункте **в)**. Чтобы оно было натуральным, $n$ должен быть делителем 2. Делители 2: 1, 2. **Ответ: $n$ может быть 1, 2.** **е) $\frac{4n^2-8n+16}{4n}$** Делим: $$ \frac{4n^2-8n+16}{4n} = \frac{4n^2}{4n} - \frac{8n}{4n} + \frac{16}{4n} = n - 2 + \frac{4}{n} $$ Чтобы результат был натуральным, $n$ должен быть делителем 4. Делители 4: 1, 2, 4. Проверим: * Если $n=1$, то $1 - 2 + \frac{4}{1} = -1 + 4 = 3$. Натуральное. * Если $n=2$, то $2 - 2 + \frac{4}{2} = 0 + 2 = 2$. Натуральное. * Если $n=4$, то $4 - 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$. Натуральное. **Ответ: $n$ может быть 1, 2, 4.**