Две обувные фабрики вместе выполняют заказ за 20 дней. Производительность второй фабрики составляет 40% от первой. За сколько дней вторая фабрика выполнит заказ одна?

Сайн уу! Энэ бодлогуудыг хамтдаа бодоцгооё. Маш сонирхолтой юм байна. ### Математик загвар байгуулж бодлогыг бод: а) Нэгдүгээр үйлдвэрийн ажлын бүтээмжийг $P_1$, хоёрдугаар үйлдвэрийнхийг $P_2$ гэж тэмдэглэе. Нийт ажлыг 1 гэж үзье. * Хамтдаа 20 хоногт хийдэг тул нийлбэр бүтээмж нь: $P_1 + P_2 = \frac{1}{20}$ * Хоёрдугаар үйлдвэрийн хүчин чадал нь нэгдүгээр үйлдвэрийн 40% тул: $P_2 = 0.4 \times P_1$ * Эдгээр тэгшитгэлийг холбож бодвол: $$P_1 + 0.4 \times P_1 = \frac{1}{20}$$ $$1.4 \times P_1 = \frac{1}{20}$$ $$P_1 = \frac{1}{20 \times 1.4} = \frac{1}{28}$$ * Одоо $P_2$-г олъё: $$P_2 = 0.4 \times \frac{1}{28} = \frac{4}{10} \times \frac{1}{28} = \frac{1}{70}$$ * Хоёрдугаар үйлдвэр дангаараа захиалгыг гүйцэтгэх хугацаа ($T_2$): $$T_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{1/70} = 70$$ **Хариулт: 70 хоногт гүйцэтгэнэ.** *Орчуулга:* а) Обозначим производительность первого завода как $P_1$, а второго завода — как $P_2$. Всю работу примем за 1. * Вместе они выполняют работу за 20 дней, значит, их общая производительность: $P_1 + P_2 = \frac{1}{20}$ * Мощность второго завода составляет 40% от мощности первого: $P_2 = 0.4 \times P_1$ * Решим систему уравнений: $$P_1 + 0.4 \times P_1 = \frac{1}{20}$$ $$1.4 \times P_1 = \frac{1}{20}$$ $$P_1 = \frac{1}{20 \times 1.4} = \frac{1}{28}$$ * Теперь найдем $P_2$: $$P_2 = 0.4 \times \frac{1}{28} = \frac{4}{10} \times \frac{1}{28} = \frac{1}{70}$$ * Время, за которое второй завод выполнит заказ в одиночку ($T_2$): $$T_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{1/70} = 70$$ **Ответ: За 70 дней.** --- б) Нэгдүгээр цоргоны савыг дүүргэх хурдыг $R_1$, хоёрдугаар цоргоныхийг $R_2$ гэе. Нийт савны багтаамжийг 1 гэж үзье. * Нэгдүгээр цорго 6 цагт дүүргэдэг тул хурд нь: $R_1 = \frac{1}{6}$ * Хоёулаа хамтдаа 4 цагт дүүргэдэг тул нийлбэр хурд нь: $R_1 + R_2 = \frac{1}{4}$ * Эндээс $R_2$-г олъё. Ерөнхий хуваарь нь 12: $$R_2 = \frac{1}{4} - R_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$$ * Хоёрдугаар цорго дангаараа савыг дүүргэх хугацаа ($T_2$): $$T_2 = \frac{1}{R_2} = \frac{1}{1/12} = 12$$ **Хариулт: 12 цагт дүүргэнэ.** *Орчуулга:* б) Обозначим скорость наполнения первого крана как $R_1$, а второго — как $R_2$. Объём контейнера примем за 1. * Первый кран наполняет контейнер за 6 часов, значит его скорость: $R_1 = \frac{1}{6}$ * Оба крана вместе наполняют за 4 часа, значит их общая скорость: $R_1 + R_2 = \frac{1}{4}$ * Отсюда найдем $R_2$. Общий знаменатель 12: $$R_2 = \frac{1}{4} - R_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$$ * Время, за которое второй кран наполнит контейнер в одиночку ($T_2$): $$T_2 = \frac{1}{R_2} = \frac{1}{1/12} = 12$$ **Ответ: За 12 часов.** --- в) Нийт кофены хэмжээ $2 \times 60 = 120$ тонн. Анх байсан ачигчдын тоог $N$, нэг ачигчийн зөөх ёстой байсан кофены хэмжээг $x$ гэе. * Эхний нөхцөл: $N \times x = 120$ * Ачигчдын тэн хагас нь ($\?rac{N}{2}$) явсан тул үлдсэн ачигч бүр 10 тонноор илүү ($x + 10$) зөөсөн: $(\frac{N}{2}) \times (x + 10) = 120$ * Эхний тэгшитгэлээс $x = \frac{120}{N}$ гэдгийг хоёр дахь тэгшитгэлдээ орлуулъя: $$\frac{N}{2} \times (\frac{120}{N} + 10) = 120$$ $$\frac{N \times 120}{2 \times N} + \frac{N \times 10}{2} = 120$$ $$60 + 5N = 120$$ $$5N = 60$$ $$N = 12$$ * Энэ бол анх байсан ачигчдын тоо. Асуултад "хэдэн ачигч ажилласан бэ?" гэсэн тул үлдсэн ачигчдын тоог олно: $$\frac{12}{2} = 6$$ **Хариулт: 6 ачигч ажилласан.** *Орчуулга:* в) Общее количество кофе: $2 \times 60 = 120$ тонн. Пусть $N$ — первоначальное количество грузчиков, а $x$ — количество кофе, которое должен был перевезти каждый грузчик. * Первоначальное условие: $N \times x = 120$ * Половина грузчиков ушла ($\?rac{N}{2}$), поэтому каждый из оставшихся перевез на 10 тонн больше ($x + 10$): $(\frac{N}{2}) \times (x + 10) = 120$ * Из первого уравнения выразим $x = \frac{120}{N}$ и подставим во второе: $$\frac{N}{2} \times (\frac{120}{N} + 10) = 120$$ $$\frac{N \times 120}{2 \times N} + \frac{N \times 10}{2} = 120$$ $$60 + 5N = 120$$ $$5N = 60$$ $$N = 12$$ * Это первоначальное количество грузчиков. В вопросе спрашивается, "сколько грузчиков работало?", поэтому нужно найти количество оставшихся грузчиков: $$\frac{12}{2} = 6$$ **Ответ: Работали 6 грузчиков.**