Заполнить таблицу на все вопросы

[{"Русский язык":"Самые главные «кирпичики», из которых строится вся геометрия. Это то, что мы не определяем, а просто принимаем как есть: точка, прямая и плоскость.","Геометрический язык":"Основные (неопределяемые) понятия геометрии: точка, прямая, плоскость.","Алгебраический язык":"Точка: $A(x, y)$ или $M(x, y, z)$. Прямая: $y = kx + b$. Плоскость: $Ax + By + Cz + D = 0$."},{"Русский язык":"Часть прямой, у которой есть начало, но нет конца. Представь себе луч фонарика: он светит из одной точки и уходит в бесконечность.","Геометрический язык":"Часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от неё.","Алгебраический язык":"Множество точек на прямой, координаты которых удовлетворяют неравенству, например, для луча с началом в точке $A(x_0)$ на оси OX, идущего вправо: $x \geq x_0$."},{"Русский язык":"Фигура, которая получается, если из одной точки провести два луча в разные стороны.","Геометрический язык":"Геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).","Алгебраический язык":"Мера угла $\alpha$, где $0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$."},{"Русский язык":"Углы бывают разные: острые (меньше прямого), прямые (как угол у квадрата), тупые (больше прямого) и развёрнутые (когда лучи образуют прямую).","Геометрический язык":"Острый ($<90^\circ$), прямой ($=90^\circ$), тупой ($>90^\circ$ и $<180^\circ$), развёрнутый ($=180^\circ$).","Алгебраический язык":"Острый: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Прямой: $\alpha = 90^\circ$. Тупой: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Развёрнутый: $\alpha = 180^\circ$."},{"Русский язык":"Фигуры, которые можно полностью совместить друг с другом, если их наложить одну на другую. Они одинаковые по форме и размеру.","Геометрический язык":"Две фигуры называются равными, если одну можно перевести в другую движением (параллельным переносом, поворотом, симметрией).","Алгебраический язык":"Для фигур $F_1$ и $F_2$, $F_1 = F_2$, если их соответствующие размеры (длины сторон, углы) равны."},{"Русский язык":"Точка на отрезке, которая делит его ровно пополам.","Геометрический язык":"Точка на отрезке, равноудалённая от его концов.","Алгебраический язык":"Для отрезка с концами в $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, середина $M$ имеет координаты: $x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$."},{"Русский язык":"Луч, который выходит из вершины угла и делит его на два одинаковых (равных) уголка.","Геометрический язык":"Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.","Алгебраический язык":"Если луч $l$ - биссектриса угла $\angle AOC$, то $\angle AOL = \angle LOC = \frac{1}{2} \angle AOC$."},{"Русский язык":"Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие вместе образуют прямую линию.","Геометрический язык":"Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой.","Алгебраический язык":"Два угла $\alpha$ и $\beta$, для которых выполняется равенство: $\alpha + \beta = 180^\circ$."},{"Русский язык":"Если сложить смежные углы, всегда получится развёрнутый угол, то есть 180 градусов.","Геометрический язык":"Сумма смежных углов равна $180^\circ$.","Алгебраический язык":"$\alpha + \beta = 180^\circ$."},{"Русский язык":"Углы, которые получаются при пересечении двух прямых и смотрят друг на друга «через перекрёсток».","Геометрический язык":"Два угла, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого.","Алгебраический язык":"Два угла $\alpha$ и $\gamma$, образованные пересечением двух прямых, не являющиеся смежными."},{"Русский язык":"Вертикальные углы всегда равны между собой.","Геометрический язык":"Вертикальные углы равны.","Алгебраический язык":"$\alpha = \gamma$."},{"Русский язык":"Две прямые, которые пересекаются под прямым углом (как угол у квадрата).","Геометрический язык":"Две пересекающиеся прямые, образующие при пересечении прямые углы ($90^\circ$).","Алгебраический язык":"Для прямых $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, условие перпендикулярности: $k_1 \cdot k_2 = -1$."},{"Русский язык":"Фигура, у которой три угла и три стороны.","Геометрический язык":"Геометрическая фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.","Алгебраический язык":"Фигура, заданная тремя вершинами с координатами $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$."},{"Русский язык":"Два треугольника, которые можно идеально совместить друг с другом. У них одинаковые стороны и углы.","Геометрический язык":"Два треугольника, у которых соответствующие стороны и соответствующие углы равны.","Алгебраический язык":"$\triangle ABC = \triangle A'B'C'$, если $AB=A'B'$, $BC=B'C'$, $AC=A'C'$, $\angle A = \angle A'$, $\angle B = \angle B'$, $\angle C = \angle C'$."},{"Русский язык":"У одинаковых треугольников все соответствующие элементы (стороны, углы, высоты и т.д.) тоже одинаковые.","Геометрический язык":"В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и наоборот.","Алгебраический язык":"Если $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$, то $a=a'$, $b=b'$, $c=c'$, $\alpha=\alpha'$, $\beta=\beta'$, $\gamma=\gamma'$."},{"Русский язык":"Три способа доказать, что треугольники одинаковые: по двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилегающим к ней углам; по трём сторонам.","Геометрический язык":"1. По двум сторонам и углу между ними. 2. По стороне и двум прилежащим к ней углам. 3. По трём сторонам.","Алгебраический язык":"$\triangle ABC = \triangle A'B'C'$, если: 1) $a=a', b=b', \gamma=\gamma'$; 2) $c=c', \alpha=\alpha', \beta=\beta'$; 3) $a=a', b=b', c=c'$."},{"Русский язык":"Отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.","Геометрический язык":"Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.","Алгебраический язык":"Длина медианы $m_c$ к стороне $c$: $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$."},{"Русский язык":"Отрезок, проведённый из вершины треугольника к противоположной стороне под прямым углом.","Геометрический язык":"Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону.","Алгебраический язык":"Длина высоты $h_c$ к стороне $c$: $h_c = \frac{2S}{c}$, где $S$ - площадь треугольника."},{"Русский язык":"Отрезок, который делит угол треугольника пополам и соединяет вершину с противоположной стороной.","Геометрический язык":"Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.","Алгебраический язык":"Свойство: $\frac{a'}{b'} = \frac{a}{b}$, где $a'$ и $b'$ - отрезки, на которые биссектриса делит сторону $c$."},{"Русский язык":"Треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья - основанием.","Геометрический язык":"Треугольник, у которого две стороны равны.","Алгебраический язык":"Треугольник со сторонами $a, b, c$, у которого $a=b$."},{"Русский язык":"В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. А еще биссектриса, проведённая к основанию, является и медианой, и высотой.","Геометрический язык":"Углы при основании равны. Биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.","Алгебраический язык":"Если $a=b$, то $\alpha = \beta$. Медиана $m_c$, высота $h_c$ и биссектриса $l_c$ к основанию $c$ совпадают."},{"Русский язык":"Если в треугольнике два угла равны, то он точно равнобедренный.","Геометрический язык":"Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.","Алгебраический язык":"Если $\alpha = \beta$, то $a=b$."},{"Русский язык":"Замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной центральной точки. Похожа на обруч.","Геометрический язык":"Геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (центра).","Алгебраический язык":"Уравнение окружности с центром в $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$."},{"Русский язык":"Расстояние от центра окружности до любой точки на ней.","Геометрический язык":"Отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой, а также длина этого отрезка.","Алгебраический язык":"Величина $R$ в уравнении окружности $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$."},{"Русский язык":"Отрезок, который соединяет две любые точки на окружности.","Геометрический язык":"Отрезок, соединяющий две точки окружности.","Алгебраический язык":"Отрезок, соединяющий точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, где $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$."},{"Русский язык":"Самая длинная хорда, которая проходит через центр окружности. Он равен двум радиусам.","Геометрический язык":"Хорда, проходящая через центр окружности.","Алгебраический язык":"$D = 2R$."},{"Русский язык":"Утверждение в математике, справедливость которого нужно доказывать.","Геометрический язык":"Утверждение, истинность которого устанавливается путём доказательства.","Алгебраический язык":"Логическое следствие вида $A \Rightarrow B$, где $A$ — условие, $B$ — заключение."},{"Русский язык":"Исходное правило в математике, которое принимается за правду без доказательств, потому что оно очевидно.","Геометрический язык":"Исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства.","Алгебраический язык":"Истинное утверждение, принимаемое в качестве базовой посылки в логической системе."},{"Русский язык":"Две прямые на плоскости, которые никогда не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Как рельсы.","Геометрический язык":"Две прямые на плоскости, которые не пересекаются.","Алгебраический язык":"Для прямых $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, условие параллельности: $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$."},{"Русский язык":"Как понять, что прямые параллельны, если их пересекает третья прямая: 1) накрест лежащие углы равны; 2) соответственные углы равны; 3) сумма односторонних углов равна 180°.","Геометрический язык":"1. Если накрест лежащие углы равны. 2. Если соответственные углы равны. 3. Если сумма односторонних углов равна 180°.","Алгебраический язык":"При пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$: $a \parallel b$, если 1) $\angle 1 = \angle 2$ (накрест лежащие); 2) $\angle 1 = \angle 3$ (соответственные); 3) $\angle 1 + \angle 4 = 180^\circ$ (односторонние)."},{"Русский язык":"Если две параллельные прямые пересечь третьей, то все накрест лежащие углы будут равны, все соответственные углы будут равны, а сумма односторонних углов будет 180°.","Геометрический язык":"Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, сумма односторонних углов равна 180°.","Алгебраический язык":"Если $a \parallel b$ и $c$ - секущая, то: 1) $\angle 1 = \angle 2$ (накрест лежащие); 2) $\angle 1 = \angle 3$ (соответственные); 3) $\angle 1 + \angle 4 = 180^\circ$ (односторонние)."},{"Русский язык":"Если сложить все три угла любого треугольника, всегда получится 180 градусов.","Геометрический язык":"Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.","Алгебраический язык":"$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$."},{"Русский язык":"Треугольники бывают остроугольные (все углы острые), прямоугольные (один угол прямой) и тупоугольные (один угол тупой).","Геометрический язык":"Остроугольный, прямоугольный, тупоугольный.","Алгебраический язык":"Остроугольный: все углы $< 90^\circ$. Прямоугольный: один угол $= 90^\circ$. Тупоугольный: один угол $> 90^\circ$."},{"Русский язык":"Треугольники бывают разносторонние (все стороны разной длины), равнобедренные (две стороны равны) и равносторонние (все три стороны равны).","Геометрический язык":"Разносторонний, равнобедренный, равносторонний (правильный).","Алгебраический язык":"Разносторонний: $a \neq b \neq c \neq a$. Равнобедренный: $a=b$. Равносторонний: $a=b=c$."},{"Русский язык":"В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.","Геометрический язык":"В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно.","Алгебраический язык":"$a > b \Leftrightarrow \alpha > \beta$."},{"Русский язык":"В прямоугольном треугольнике гипотенуза (сторона напротив прямого угла) всегда длиннее любого из катетов (двух других сторон).","Геометрический язык":"В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов.","Алгебраический язык":"Если $\gamma = 90^\circ$, то $c > a$ и $c > b$."},{"Русский язык":"Любая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других его сторон.","Геометрический язык":"Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.","Алгебраический язык":"$a < b + c$; $b < a + c$; $c < a + b$."},{"Русский язык":"Главное свойство - теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Сумма острых углов равна 90°. Катет напротив угла в 30° равен половине гипотенузы.","Геометрический язык":"1. Сумма острых углов равна $90^\circ$. 2. Катет против угла в $30^\circ$ равен половине гипотенузы. 3. Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.","Алгебраический язык":"1. $\alpha + \beta = 90^\circ$. 2. Если $\alpha = 30^\circ$, то $a = c/2$. 3. $a^2 + b^2 = c^2$."},{"Русский язык":"Чтобы доказать, что два прямоугольных треугольника равны, нужно проверить равенство: 1) двух катетов; 2) катета и острого угла; 3) гипотенузы и острого угла; 4) гипотенузы и катета.","Геометрический язык":"1. По двум катетам. 2. По катету и прилежащему/противолежащему острому углу. 3. По гипотенузе и острому углу. 4. По гипотенузе и катету.","Алгебраический язык":"Два $\triangle$ ($\,\gamma = \gamma' = 90^\circ$) равны, если: 1) $a=a', b=b'$; 2) $a=a', \beta=\beta'$; 3) $c=c', \alpha=\alpha'$; 4) $c=c', a=a'$."},{"Русский язык":"Самый короткий путь от точки до прямой. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.","Геометрический язык":"Длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой.","Алгебраический язык":"Расстояние $d$ от точки $M(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ равно: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$."}]