Назови основные понятия геометрии.

Привет! Очень интересное задание — посмотреть на одни и те же геометрические понятия с разных сторон. Давай попробуем перевести все эти вопросы на язык символов и формул. Получится вот такая большая таблица: | Русский язык | Геометрический язык | Алгебраический язык | | :--- | :--- | :--- | | 1. Назовите основные понятия геометрии. | Точка, прямая, плоскость. | Координаты точки $A(x,y)$, уравнение прямой $y=kx+b$. | | 2. Что такое луч? | Часть прямой с началом, но без конца. Обозначение: $[OA)$. | Множество точек $M(x)$ на прямой, где $x \ge a$. | | 3. Что такое угол? | Фигура из двух лучей с общим началом. Обозначение: $\angle AOB$. | Величина угла между векторами, которую находят по формуле: $\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$. | | 4. Виды углов. | Острый, прямой, тупой, развернутый. | $\alpha < 90^\circ$, $\alpha = 90^\circ$, $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, $\alpha = 180^\circ$. | | 5. Какие фигуры называются равными? | Фигуры, которые можно совместить наложением. $F_1 = F_2$. | Фигуры, которые переводятся одна в другую движением (изометрией). | | 6. Что такое середина отрезка? | Точка $C$ на отрезке $AB$ такая, что $AC=CB$. | Точка с координатами $x_C = \frac{x_A+x_B}{2}, y_C = \frac{y_A+y_B}{2}$. | | 7. Что такое биссектриса угла? | Луч, который делит угол пополам. $\angle AOC = \angle COB$. | Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. | | 8. Какие углы называются смежными? | Два угла с общей вершиной и стороной, а другие стороны лежат на одной прямой. | Два угла $\alpha$ и $\beta$, для которых $\alpha + \beta = 180^\circ$. | | 9. Свойство смежных углов. | Сумма смежных углов равна $180^\circ$. | Если $\angle 1$ и $\angle 2$ смежные, то $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. | | 10. Какие углы называются вертикальными? | Два угла, у которых стороны одного — продолжение сторон другого. | Два угла, образованные пересечением двух прямых, не являющиеся смежными. | | 11. Свойство вертикальных углов. | Вертикальные углы равны. | Если $\angle 1$ и $\angle 3$ вертикальные, то $\angle 1 = \angle 3$. | | 12. Какие прямые называются перпендикулярными? | Прямые, пересекающиеся под прямым углом ($90^\circ$). $a \perp b$. | Угловые коэффициенты прямых $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$ связаны как $k_1 \cdot k_2 = -1$. | | 13. Какая фигура называется треугольником? | Фигура из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков. $\triangle ABC$. | Область, заданная системой неравенств, ограниченная тремя прямыми. | | 14. Какие треугольники называются равными? | Треугольники, которые можно совместить наложением. $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. | Треугольники, вершины которых можно совместить с помощью движения. | | 15. Свойство равных треугольников. | В равных треугольниках соответственные стороны и углы равны. | Если $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, то $AB=A_1B_1, \angle A = \angle A_1$ и т.д. | | 16. Признаки равенства треугольников. | По двум сторонам и углу; по стороне и двум углам; по трем сторонам. | Равенство длин и углов, вычисленных по координатам вершин. | | 17. Что такое медиана треугольника? | Отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. | Уравнение прямой, проходящей через вершину $A(x_A, y_A)$ и точку $M(\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2})$. | | 18. Что такое высота треугольника? | Перпендикуляр из вершины на противоположную сторону. | Уравнение прямой, проходящей через вершину и перпендикулярной противоположной стороне. | | 19. Что такое биссектриса треугольника? | Отрезок биссектрисы угла треугольника, от вершины до противоположной стороны. | Уравнение прямой, точки которой равноудалены от двух смежных сторон. | | 20. Какой треугольник называется равнобедренным? | Треугольник, у которого две стороны равны. $AB=BC$. | Треугольник с вершинами A, B, C, где расстояние $d(A,B) = d(B,C)$. | | 21. Свойство равнобедренного треугольника. | Углы при основании равны. $\angle A = \angle C$. | Если $d(A,B)=d(B,C)$, то углы, вычисленные через векторы, равны. | | 22. Признак равнобедренного треугольника. | Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный. | Если $\angle A = \angle C$, то $d(A,B) = d(B,C)$. | | 23. Что такое окружность? | Множество точек плоскости, равноудаленных от центра. | Уравнение вида $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. | | 24. Что такое радиус окружности? | Отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности. $R$. | Число $R$ в уравнении окружности $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. | | 25. Что такое хорда? | Отрезок, соединяющий две точки окружности. | Отрезок между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, которые удовлетворяют уравнению окружности. | | 26. Что такое диаметр окружности? | Хорда, проходящая через центр окружности. $D=2R$. | Хорда максимальной длины, равная $2R$. | | 27. Что такое теорема? | Утверждение, которое нужно доказывать. | Логическая формула $P \Rightarrow Q$ (Если P, то Q), которую можно доказать. | | 28. Что такое аксиома? | Утверждение, принимаемое без доказательства. | Исходное утверждение в теории, из которого выводятся все остальные. | | 29. Какие прямые называются параллельными? | Прямые на плоскости, которые не пересекаются. $a \parallel b$. | Для прямых $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ выполняется $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$. | | 30. Признаки параллельности прямых. | Равенство накрест лежащих или соответственных углов при секущей. | Равенство угловых коэффициентов $k_1 = k_2$. | | 31. Свойства параллельных прямых. | Если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны и т.д. | Если $k_1 = k_2$, то углы наклона прямых к оси Ох равны. | | 32. Теорема о сумме углов треугольника. | Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. | Для векторов сторон $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ сумма внутренних углов равна $\pi$. | | 33. Виды треугольников в зависимости от углов. | Остроугольный, прямоугольный, тупоугольный. | Все углы $< 90^\circ$; один угол $= 90^\circ$; один угол $> 90^\circ$. | | 34. Виды треугольников в зависимости от сторон. | Разносторонний, равнобедренный, равносторонний. | Длины сторон $a,b,c$: $a \neq b \neq c \neq a$; $a=b \neq c$; $a=b=c$. | | 35. Теорема о соотношении углов и сторон. | Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. | $a > b \iff \alpha > \beta$. Теорема синусов: $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}$. | | 36. Свойство гипотенузы. | Гипотенуза — самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике. | $c > a$ и $c > b$, где $c^2 = a^2+b^2$. | | 37. Неравенство треугольника. | Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. | $a < b+c$, $b < a+c$, $c < a+b$. | | 38. Свойства прямоугольного треугольника. | Сумма острых углов $90^\circ$. Теорема Пифагора. | $\alpha+\beta=90^\circ$; $a^2+b^2=c^2$. | | 39. Признаки равенства прямоугольных треугольников. | По гипотенузе и катету; по гипотенузе и острому углу; по двум катетам. | Равенство соответствующих длин и углов, вычисленных по координатам. | | 40. Что такое расстояние от точки до прямой? | Длина перпендикуляра от точки к прямой. | Формула $d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ для точки $M(x_0, y_0)$ и прямой $Ax+By+C=0$. |