При каком значении b принимает наименьшее значение дробь (b^2 + 7)/21?

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Всё не так сложно, как кажется! ### Задание 20 Нужно найти, при каком значении $b$ дробь будет самой маленькой. а) $\frac{b^2 + 7}{21}$ Знаменатель дроби (число внизу) — это постоянное число 21. Значит, чтобы вся дробь была как можно меньше, нам нужно сделать числитель (число вверху) как можно меньше. Числитель — это $b^2 + 7$. Выражение $b^2$ не может быть отрицательным, его самое маленькое значение — это 0. Такое получается, когда $b = 0$. **Ответ: при $b = 0$.** б) $\frac{(b - 2)^2 + 16}{8}$ Здесь та же история. Знаменатель постоянный (8). Ищем наименьшее значение числителя $(b - 2)^2 + 16$. Выражение $(b - 2)^2$ — это квадрат, и его наименьшее значение тоже равно 0. Это произойдёт, когда $b - 2 = 0$, то есть $b = 2$. **Ответ: при $b = 2$.** ### Задание 21 Давай проверим эти утверждения. Дробь у нас одна и та же: $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$. Сначала упростим знаменатель: $4x^2 + 9 + y^2 + 4xy$. Если поменять слагаемые местами, увидим знакомую формулу: $(4x^2 + 4xy + y^2) + 9$. Выражение в скобках — это полный квадрат $(2x + y)^2$. Значит, знаменатель равен $(2x + y)^2 + 9$. Чтобы дробь была **наибольшей**, её знаменатель должен быть **наименьшим**. Наименьшее значение $(2x + y)^2$ равно 0. Тогда наименьшее значение всего знаменателя будет $0 + 9 = 9$. Наибольшее значение дроби: $\frac{18}{9} = 2$. Теперь посмотрим на утверждения: а) наибольшее значение дроби равно 1 — **неверно**. б) наибольшее значение дроби равно 2 — **верно**. в) наименьшее значение дроби равно 2 — **неверно** (это её наибольшее значение). ### Задание 22 Здесь нам понадобятся формулы сокращённого умножения. а) $(2a + 3)(2a - 3)$ — это формула разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. $$(2a)^2 - 3^2 = 4a^2 - 9$$ б) $(y - 5b)(y + 5b)$ — та же формула. $$y^2 - (5b)^2 = y^2 - 25b^2$$ в) $(0,8x + y)(y - 0,8x)$ — переставим слагаемые для удобства: $(y + 0,8x)(y - 0,8x)$. $$y^2 - (0,8x)^2 = y^2 - 0,64x^2$$ г) $(b + 0,5)^2$ — это квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. $$b^2 + 2 \cdot b \cdot 0,5 + (0,5)^2 = b^2 + b + 0,25$$ д) $(a - 2x)^2$ — это квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. $$a^2 - 2 \cdot a \cdot 2x + (2x)^2 = a^2 - 4ax + 4x^2$$ е) $(ab - 1)^2$ — снова квадрат разности. $$(ab)^2 - 2 \cdot ab \cdot 1 + 1^2 = a^2b^2 - 2ab + 1$$ ### Задание 23 А здесь делаем то же самое, но наоборот — раскладываем на множители. а) $x^2 - 25 = x^2 - 5^2$. Узнаёшь разность квадратов? $$(x - 5)(x + 5)$$ б) $16 - c^2 = 4^2 - c^2$. Снова она! $$(4 - c)(4 + c)$$ в) $a^2 - 6a + 9$. Похоже на квадрат разности $a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2$. $$(a - 3)^2$$ г) $x^2 + 8x + 16$. А это квадрат суммы $x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2$. $$(x + 4)^2$$ д) $a^3 - 8 = a^3 - 2^3$. Это формула разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. $$(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$$ е) $b^3 + 27 = b^3 + 3^3$. Это сумма кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. $$(b + 3)(b^2 - 3b + 9)$$ ### Задание 24 Давай посчитаем, где Анне Александровне будет выгоднее купить 5 коробок конфет. **1. Магазин «Сладость»** * Цена за коробку: 350 р. * Акция: «три коробки по цене двух». Чтобы купить 5 коробок, она воспользуется акцией один раз (купит 3 коробки, а заплатит за 2) и ещё 2 коробки купит по обычной цене. * Стоимость по акции: $2 \times 350 = 700$ р. (за 3 коробки). * Стоимость остальных двух: $2 \times 350 = 700$ р. * Итого в «Сладости»: $700 + 700 = 1400$ р. **2. Магазин «Джем»** * Цена за коробку: 390 р. * Акция: при покупке больше 4 коробок — скидка 30% на всё. Анна покупает 5 коробок, значит, скидка действует. * Стоимость без скидки: $5 \times 390 = 1950$ р. * Размер скидки: $1950 \times 0,3 = 585$ р. * Итого в «Джеме»: $1950 - 585 = 1365$ р. **Сравнение и экономия** * В «Сладости» покупка стоит 1400 р. * В «Джеме» — 1365 р. Выгоднее покупать в магазине «Джем». Теперь посчитаем экономию. Для этого найдём разницу в стоимости. * Экономия: $1400 - 1365 = 35$ р. **Ответ: Выгоднее в магазине «Джем». Анна Александровна сможет сэкономить 35 рублей.**