Упрости выражение (b^2 - 4c^2)/(b^2 - 4bc + 4c^2)

Привет! Давай разберёмся с этими примерами. Это задачки на упрощение алгебраических дробей. Главное здесь — правильно разложить выражения на множители. ### Задание 1 Упростить выражение: $$ \frac{b^2 - 4c^2}{b^2 - 4bc + 4c^2} $$ 1. **Разложим числитель.** Здесь формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. $$ b^2 - 4c^2 = b^2 - (2c)^2 = (b-2c)(b+2c) $$ 2. **Разложим знаменатель.** Это формула квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. $$ b^2 - 4bc + 4c^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot (2c) + (2c)^2 = (b-2c)^2 $$ 3. **Подставим всё в дробь и сократим.** $$ \frac{(b-2c)(b+2c)}{(b-2c)^2} = \frac{(b-2c)(b+2c)}{(b-2c)(b-2c)} = \frac{b+2c}{b-2c} $$ **Ответ:** $\frac{b+2c}{b-2c}$ ### Задание 2 Упростить выражение: $$ \frac{3a^2-6ab}{a^2+3b^2} \cdot \frac{4a^4-9b^4}{21a(a-2b)^2} $$ 1. **Разложим на множители каждую часть выражения.** * $3a^2 - 6ab = 3a(a-2b)$ * $a^2 + 3b^2$ — это выражение не раскладывается на множители. * $4a^4 - 9b^4 = (2a^2)^2 - (3b^2)^2 = (2a^2-3b^2)(2a^2+3b^2)$ (по формуле разности квадратов). * $21a(a-2b)^2$ — уже разложено. 2. **Запишем всё вместе и сократим одинаковые множители.** $$ \frac{3a(a-2b)}{a^2+3b^2} \cdot \frac{(2a^2-3b^2)(2a^2+3b^2)}{21a(a-2b)^2} = \frac{\cancel{3}\cancel{a}(\cancel{a-2b})}{a^2+3b^2} \cdot \frac{(2a^2-3b^2)(2a^2+3b^2)}{\cancel{21}_7\cancel{a}(a-2b)^{\cancel{2}}} $$ 3. **Запишем то, что осталось.** $$ \frac{(2a^2-3b^2)(2a^2+3b^2)}{7(a^2+3b^2)(a-2b)} $$ **Ответ:** $\frac{(2a^2-3b^2)(2a^2+3b^2)}{7(a^2+3b^2)(a-2b)}$