Вычисли sin α, если cos α = 3/5, 3π/2 < α < 2π

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по тригонометрии. Тут главное — помнить основное тригонометрическое тождество и в какой четверти находится угол. ### 174. Вычислить: 1) Найти $sin\,\alpha$, если $cos\,\alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. * **Шаг 1: Найдём значение синуса по формуле.** Основное тригонометрическое тождество: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Выразим из него синус: $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$. $$sin^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ Значит, $sin\,\alpha$ может быть равен $\frac{4}{5}$ или $-\frac{4}{5}$. * **Шаг 2: Определим знак.** Угол $\alpha$ находится в промежутке от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$. Это IV (четвёртая) четверть. В этой четверти синус отрицательный. Поэтому выбираем значение со знаком «минус». **Ответ: $sin\,\alpha = -\frac{4}{5}$** 2) Найти $cos\,\alpha$, если $sin\,\alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. * **Шаг 1: Найдём значение косинуса по той же формуле.** $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$. $$cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ Значит, $cos\,\alpha$ может быть равен $\frac{4}{5}$ или $-\frac{4}{5}$. * **Шаг 2: Определим знак.** Угол $\alpha$ находится в промежутке от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$. Это II (вторая) четверть. В этой четверти косинус отрицательный. Выбираем значение со знаком «минус». **Ответ: $cos\,\alpha = -\frac{4}{5}$** 3) Найти $tg\,\alpha$, если $sin\,\alpha = -\frac{5}{13}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. * **Шаг 1: Сначала найдём косинус.** $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$. $$cos^2\alpha = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$ Значит, $cos\,\alpha$ может быть $\frac{12}{13}$ или $-\frac{12}{13}$. Угол $\alpha$ находится в промежутке от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$. Это III (третья) четверть, а в ней косинус отрицательный. Поэтому $cos\,\alpha = -\frac{12}{13}$. * **Шаг 2: Теперь найдём тангенс.** Формула тангенса: $tg\,\alpha = \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha}$. $$tg\,\alpha = \frac{-5/13}{-12/13} = \frac{5}{12}$$ **Ответ: $tg\,\alpha = \frac{5}{12}$** 4) Найти $ctg\,\alpha$, если $cos\,\alpha = -\frac{12}{13}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. * **Шаг 1: Сначала найдём синус.** $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$. $$sin^2\alpha = 1 - (-\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$$ Значит, $sin\,\alpha$ может быть $\frac{5}{13}$ или $-\frac{5}{13}$. Угол $\alpha$ находится в III (третьей) четверти, а в ней синус отрицательный. Поэтому $sin\,\alpha = -\frac{5}{13}$. * **Шаг 2: Теперь найдём котангенс.** Формула котангенса: $ctg\,\alpha = \frac{cos\,\alpha}{sin\,\alpha}$. $$ctg\,\alpha = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5}$$ **Ответ: $ctg\,\alpha = \frac{12}{5}$**