Реши пример со степенями и дробями: (5 1/3)^-1 * (2/9)^-2 + ...

Привет! Давай разберёмся с этим примером. Он выглядит немного запутанным из-за почерка, но мы справимся! **Допущение:** Знак «+» между $(\frac{2}{9})^{-2}$ и $(\frac{27}{8})^{-\frac{4}{3}}$ скорее всего, должен быть знаком умножения «$\cdot$». В школьных примерах часто встречаются красивые сокращения, которые получаются именно при умножении. Вот как выглядит пример с этим исправлением: $$ (5\frac{1}{3})^{-1} \cdot (\frac{2}{9})^{-2} \cdot (\frac{27}{8})^{-\frac{4}{3}} \cdot 3^0 + \frac{(\frac{1}{2})^{-2}}{21} $$ Давай решать его по шагам. ### Шаг 1: Упрощаем выражения со степенями Сначала разберёмся с каждой скобкой по отдельности. * $ (5\frac{1}{3})^{-1} $. Сначала переведём $5\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$. Отрицательная степень «переворачивает» дробь: $(\frac{16}{3})^{-1} = \frac{3}{16}$. * $(\frac{2}{9})^{-2}$. Отрицательная степень снова переворачивает дробь, а потом возводим в квадрат: $(\frac{2}{9})^{-2} = (\frac{9}{2})^2 = \frac{9^2}{2^2} = \frac{81}{4}$. * $(\frac{27}{8})^{-\frac{4}{3}}$. Сначала из-за отрицательной степени переворачиваем дробь: $(\frac{8}{27})^{\frac{4}{3}}$. Дробная степень $\frac{4}{3}$ означает, что нам нужно извлечь корень 3-й степени, а потом результат возвести в 4-ю степень. $ \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3} $. Теперь возводим в 4-ю степень: $(\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$. * $3^0$. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. Так что $3^0 = 1$. * $(\frac{1}{2})^{-2}$. Переворачиваем дробь и возводим в квадрат: $(2)^2 = 4$. ### Шаг 2: Подставляем значения и вычисляем Теперь вернём все наши упрощённые числа в исходный пример: $$ \frac{3}{16} \cdot \frac{81}{4} \cdot \frac{16}{81} \cdot 1 + \frac{4}{21} $$ Смотри, как удачно сокращаются дроби в первой части! $$ (\frac{3}{16} \cdot \frac{16}{81}) \cdot \frac{81}{4} \cdot 1 + \frac{4}{21} $$ Сокращаем 16 и 16, затем 81 и 81: $$ \frac{3}{\cancel{16}} \cdot \frac{\cancel{81}}{4} \cdot \frac{\cancel{16}}{\cancel{81}} = \frac{3}{4} $$ Теперь наш пример выглядит гораздо проще: $$ \frac{3}{4} + \frac{4}{21} $$ ### Шаг 3: Складываем дроби Чтобы сложить дроби, нужен общий знаменатель. Для 4 и 21 это $4 \cdot 21 = 84$. * Приводим первую дробь к знаменателю 84: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 21}{4 \cdot 21} = \frac{63}{84}$. * Приводим вторую дробь к знаменателю 84: $\frac{4}{21} = \frac{4 \cdot 4}{21 \cdot 4} = \frac{16}{84}$. Складываем их: $$ \frac{63}{84} + \frac{16}{84} = \frac{63 + 16}{84} = \frac{79}{84} $$ Дробь $\frac{79}{84}$ сократить нельзя, так как 79 — простое число. **Ответ: $\frac{79}{84}$**