Реши пример со степенями: (5 * 3^(1/3) * 2^(1/3) + (9^(1/6))^2) / (6^(2/3) + 2^(1/3))

Привет! Давай разберёмся с этим примером. Почерк немного неразборчивый, и первая цифра похожа на 5. Но если это 5, то пример красиво не решается. Обычно в таких заданиях числа подобраны так, чтобы всё сократилось. Очень похоже, что это на самом деле цифра 3. Давай решим с этой мыслью! **Допущение:** Первая цифра в числителе — это 3, а не 5. Тогда наше выражение выглядит так: $$ \frac{3 \cdot 3^{1/3} \cdot 2^{1/3} + (9^{1/6})^2}{6^{2/3} + 2^{1/3}} $$ Давай упрощать его по шагам. ### 1. Упростим числитель (верхнюю часть дроби) Сначала первое слагаемое: $3 \cdot 3^{1/3} \cdot 2^{1/3}$. По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^n \cdot b^n = (ab)^n$: $$ 3^1 \cdot 3^{1/3} \cdot 2^{1/3} = 3^{1 + 1/3} \cdot 2^{1/3} = 3^{4/3} \cdot 2^{1/3} $$ Теперь второе слагаемое: $(9^{1/6})^2$. По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$: $$ (9^{1/6})^2 = 9^{(1/6) \cdot 2} = 9^{2/6} = 9^{1/3} $$ Так как $9 = 3^2$, то можно записать как $(3^2)^{1/3} = 3^{2/3}$. Весь числитель: $3^{4/3} \cdot 2^{1/3} + 3^{2/3}$. Вынесем общий множитель $3^{2/3}$ за скобку: $$ 3^{2/3} (3^{2/3} \cdot 2^{1/3} + 1) $$ ### 2. Упростим знаменатель (нижнюю часть дроби) Знаменатель: $6^{2/3} + 2^{1/3}$. Представим 6 как $2 \cdot 3$: $$ (2 \cdot 3)^{2/3} + 2^{1/3} = 2^{2/3} \cdot 3^{2/3} + 2^{1/3} $$ Вынесем общий множитель $2^{1/3}$ за скобку: $$ 2^{1/3} (2^{1/3} \cdot 3^{2/3} + 1) $$ ### 3. Собираем дробь и сокращаем Теперь подставим упрощённые части обратно в дробь: $$ \frac{3^{2/3} (3^{2/3} \cdot 2^{1/3} + 1)}{2^{1/3} (2^{1/3} \cdot 3^{2/3} + 1)} $$ Смотри, выражения в скобках одинаковые, поэтому мы можем их сократить. Остаётся: $$ \frac{3^{2/3}}{2^{1/3}} $$ ### 4. Приведём ответ к красивому виду Чтобы избавиться от корня в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $2^{2/3}$: $$ \frac{3^{2/3} \cdot 2^{2/3}}{2^{1/3} \cdot 2^{2/3}} = \frac{(3 \cdot 2)^{2/3}}{2^{(1/3 + 2/3)}} = \frac{6^{2/3}}{2^1} = \frac{\sqrt[3]{6^2}}{2} = \frac{\sqrt[3]{36}}{2} $$ **Ответ: $\frac{\sqrt[3]{36}}{2}$**