Определи, рациональным или иррациональным числом является значение выражения (√7 + 2)(√7 - 2).

Привет! Давай разберёмся с этим заданием. Всё не так сложно, как кажется. Главное, что нужно помнить: * **Рациональное число** — это число, которое можно представить в виде дроби (например, 5, -2, 1/3, 0.25). Если после всех упрощений у тебя получается целое число или обыкновенная дробь, то число рациональное. * **Иррациональное число** — это число, которое нельзя представить в виде такой дроби. Чаще всего в школьных задачах это корни, которые нельзя извлечь нацело (например, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$). Если после упрощений корень остаётся, число иррациональное. А теперь по порядку: а) $(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2)$ Здесь можно использовать формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. $$(\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3$$ Получилось целое число 3. **Ответ: рациональное** б) $(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 2)$ Раскроем скобки: $$(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) - (2 \cdot \sqrt{3}) - (1 \cdot \sqrt{3}) + (1 \cdot 2) = 3 - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 = 5 - 3\sqrt{3}$$ У нас остался $\sqrt{3}$, от которого не избавиться. **Ответ: иррациональное** в) $(1 - 2\sqrt{5})^2$ Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. $$1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2 = 1 - 4\sqrt{5} + 4 \cdot 5 = 1 - 4\sqrt{5} + 20 = 21 - 4\sqrt{5}$$ Остался $\sqrt{5}$. **Ответ: иррациональное** г) $2\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot 3 \cdot \sqrt{15}$ Сгруппируем и перемножим: $$ (2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{15}) = 6 \cdot \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 15} = 6 \cdot \sqrt{15 \cdot 15} = 6 \cdot \sqrt{225} = 6 \cdot 15 = 90 $$ Получилось целое число 90. **Ответ: рациональное** д) $3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ Перемножим числа под корнями: $$ 3 \cdot \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 12} = 3 \cdot \sqrt{72} $$ $\sqrt{72}$ можно упростить: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. $$ 3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2} $$ Остался $\sqrt{2}$. **Ответ: иррациональное** е) $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{6\sqrt{10}}$ Упростим числитель: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{10}$. $$ \frac{\sqrt{10}}{6\sqrt{10}} $$ Сокращаем $\sqrt{10}$ в числителе и знаменателе, остаётся: $$ \frac{1}{6} $$ Получилась обыкновенная дробь. **Ответ: рациональное** Надеюсь, теперь всё стало понятнее! Если будут ещё вопросы, обращайся.