Преобразуйте в многочлен (2a+3)(2a-3)

Привет! Давай разберём эти задания по порядку. ### 22. Преобразуйте в многочлен Здесь нам пригодятся формулы сокращённого умножения. Это такие специальные правила, которые помогают быстро раскрывать скобки. а) $(2a+3)(2a-3)$ Используем формулу разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. $$(2a+3)(2a-3) = (2a)^2 - 3^2 = 4a^2 - 9$$ б) $(y - 5b)(y + 5b)$ Это та же самая формула разности квадратов. $$(y - 5b)(y + 5b) = y^2 - (5b)^2 = y^2 - 25b^2$$ в) $(0,8x + y)(y - 0,8x)$ Чтобы было удобнее, поменяем слагаемые в первой скобке местами: $(y + 0,8x)(y - 0,8x)$. И снова применяем формулу разности квадратов. $$(y + 0,8x)(y - 0,8x) = y^2 - (0,8x)^2 = y^2 - 0,64x^2$$ г) $(b + 0,5)^2$ Это формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. $$(b + 0,5)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 0,5 + (0,5)^2 = b^2 + b + 0,25$$ д) $(a - 2x^2)^2$ А это формула квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. $$(a - 2x^2)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2x^2 + (2x^2)^2 = a^2 - 4ax^2 + 4x^4$$ е) $(ab - 1)^2$ И снова квадрат разности. $$(ab - 1)^2 = (ab)^2 - 2 \cdot ab \cdot 1 + 1^2 = a^2b^2 - 2ab + 1$$ ### 23. Разложите на множители Тут мы будем использовать те же формулы, но наоборот: собирать из многочлена скобки. а) $x^2 - 25$ Видим разность квадратов: $x^2$ и $25 = 5^2$. Значит, применяем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. $$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$$ б) $16 - c^2$ То же самое: $16 = 4^2$. $$16 - c^2 = (4 - c)(4 + c)$$ в) $a^2 - 6a + 9$ Это похоже на полный квадрат. Проверим: $a^2$ - это квадрат $a$, $9$ - это квадрат $3$. Удвоенное произведение $2 \cdot a \cdot 3 = 6a$. Знак минус. Значит, это квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. $$a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$$ г) $x^2 + 8x + 16$ Проверяем: $x^2$ - квадрат $x$, $16$ - квадрат $4$. Удвоенное произведение $2 \cdot x \cdot 4 = 8x$. Знак плюс. Это квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. $$x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$$ д) $a^3 - 8$ Это разность кубов: $a^3$ и $8 = 2^3$. Формула: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$. $$a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$$ е) $b^3 + 27$ А это сумма кубов: $b^3$ и $27 = 3^3$. Формула: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. $$b^3 + 27 = (b + 3)(b^2 - 3b + 9)$$ ### 24. Задача про конфеты Давай посчитаем, где Анне Александровне будет выгоднее купить конфеты. **1. Магазин «Сладость»** * Нужно купить 5 коробок, цена одной — 350 рублей. * Акция «три по цене двух» означает, что за 3 коробки она заплатит как за 2: $$2 \times 350 = 700 \text{ рублей}$$ * Осталось купить ещё $5 - 3 = 2$ коробки по обычной цене: $$2 \times 350 = 700 \text{ рублей}$$ * Всего в «Сладости» она потратит: $$700 + 700 = 1400 \text{ рублей}$$ **2. Магазин «Джем»** * Здесь коробка стоит 390 рублей. * При покупке более 4 коробок (а нужно 5) действует скидка 30% на всю сумму. * Стоимость 5 коробок без скидки: $$5 \times 390 = 1950 \text{ рублей}$$ * Теперь посчитаем итоговую цену со скидкой 30%. Если скидка 30%, то заплатить нужно $100\% - 30\% = 70\%$. $$1950 \times 0,7 = 1365 \text{ рублей}$$ **3. Сравнение и экономия** * В магазине «Сладость» покупка обойдётся в 1400 рублей, а в «Джеме» — в 1365 рублей. * $1365 < 1400$, значит, в «Джеме» покупать выгоднее. * Чтобы найти, сколько она сэкономит, вычтем из большей суммы меньшую: $$1400 - 1365 = 35 \text{ рублей}$$ **Ответ:** Покупка будет выгоднее в магазине «Джем». Анна Александровна сможет сэкономить 35 рублей.