Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство: (p - 3)(p + 4) < p(p + 1)

Привет! Давай разберёмся с этими неравенствами. Чтобы доказать, что они верны для любого числа, нужно их упростить и посмотреть, что получится. ### 1. $(p-3)(p+4) < p(p+1)$ Раскроем скобки в обеих частях неравенства: $$ p^2 + 4p - 3p - 12 < p^2 + p $$ Приведём подобные слагаемые: $$ p^2 + p - 12 < p^2 + p $$ Теперь перенесём всё из правой части в левую с противоположным знаком: $$ p^2 + p - 12 - p^2 - p < 0 $$ $$ -12 < 0 $$ Это верное неравенство, так как -12 всегда меньше 0. **Доказано.** ### 2. $(x+1)^2 > x(x+2)$ Раскроем скобки: $$ x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x $$ Перенесём всё в левую часть: $$ x^2 + 2x + 1 - x^2 - 2x > 0 $$ $$ 1 > 0 $$ Это тоже всегда верно. **Доказано.** ### 3. $(a-5)(a+2) > (a+5)(a-8)$ Раскроем скобки в обеих частях: $$ a^2 + 2a - 5a - 10 > a^2 - 8a + 5a - 40 $$ Упростим: $$ a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40 $$ Перенесём всё влево: $$ a^2 - 3a - 10 - a^2 + 3a + 40 > 0 $$ $$ 30 > 0 $$ Получилось верное неравенство. **Доказано.** ### 4. $y(y+8) < (y+4)^2$ Раскрываем скобки: $$ y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16 $$ Переносим всё в одну сторону: $$ y^2 + 8y - y^2 - 8y - 16 < 0 $$ $$ -16 < 0 $$ И снова верное неравенство. **Доказано.** ### 5. $(2a-5)^2 \le 6a^2 - 20a + 25$ Раскроем квадрат разности в левой части: $$ 4a^2 - 20a + 25 \le 6a^2 - 20a + 25 $$ Перенесём всё из левой части в правую: $$ 0 \le 6a^2 - 20a + 25 - 4a^2 + 20a - 25 $$ $$ 0 \le 2a^2 $$ Квадрат любого числа ($a^2$) всегда больше или равен нулю. Если умножить его на 2, результат ($2a^2$) тоже всегда будет больше или равен нулю. **Доказано.** ### 6. $a^2+4 \ge 4a$ Перенесём $4a$ в левую часть: $$ a^2 - 4a + 4 \ge 0 $$ Свернём левую часть по формуле квадрата разности: $$ (a-2)^2 \ge 0 $$ Квадрат любого выражения всегда больше или равен нулю. Значит, это неравенство верно при любом значении $a$. **Доказано.** Отлично справились!