Укажи допустимые значения переменной в выражении $x^2 - 8x + 9$

Привет! Давай разберемся с этими заданиями по математике. ### Задание 11 Укажи допустимые значения переменной в выражении. Допустимые значения — это те, при которых выражение имеет смысл. Например, на ноль делить нельзя. а) $x^2 - 8x + 9$: Здесь нет деления или корней, поэтому $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число.** б) $\frac{3x - 6}{7}$: Здесь тоже нет деления на переменную, знаменатель — это просто число 7. Значит, $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число.** в) $\frac{y}{x - 25}$: В этом выражении мы делим на $x - 25$. Значит, $x - 25$ не может быть равно нулю. $x - 25 \neq 0 \Rightarrow x \neq 25$. **Ответ: $x \neq 25$.** г) $\frac{1}{6x - 3}$: Здесь мы делим на $6x - 3$. Значит, $6x - 3$ не может быть равно нулю. $6x - 3 \neq 0 \Rightarrow 6x \neq 3 \Rightarrow x \neq \frac{3}{6} \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}$. **Ответ: $x \neq \frac{1}{2}$.** д) $\frac{x^2 - 8}{4x(x + 1)}$: Тут в знаменателе $4x(x + 1)$. Значит, $4x(x + 1)$ не может быть равно нулю. Это значит, что ни $4x$, ни $x + 1$ не могут быть нулём. $4x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$. И $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. **Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.** е) $\frac{x - 8}{x + 8} + \frac{x}{x}$: Здесь у нас два знаменателя: $x + 8$ и $x$. Оба они не могут быть равны нулю. $x + 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -8$. И $x \neq 0$. **Ответ: $x \neq -8$ и $x \neq 0$.** ### Задание 12 Найди допустимые значения переменной в выражении. Снова ищем значения, при которых знаменатель не равен нулю. а) $\frac{5y - 8}{11}$: Знаменатель — число 11. $y$ может быть любым. **Ответ: $y$ — любое число.** б) $\frac{y^2 + 1}{y^2 - 2y}$: Знаменатель $y^2 - 2y$. Приравняем его к нулю и найдем запрещенные значения: $y^2 - 2y = 0 \Rightarrow y(y - 2) = 0$. Значит, $y = 0$ или $y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$. Эти значения недопустимы. **Ответ: $y \neq 0$ и $y \neq 2$.** в) $\frac{y}{y - 6} + \frac{15}{y + 6}$: Тут два знаменателя: $y - 6$ и $y + 6$. $y - 6 \neq 0 \Rightarrow y \neq 6$. И $y + 6 \neq 0 \Rightarrow y \neq -6$. **Ответ: $y \neq 6$ и $y \neq -6$.** г) $\frac{25}{y - 9}$: Знаменатель $y - 9$. $y - 9 \neq 0 \Rightarrow y \neq 9$. **Ответ: $y \neq 9$.** д) $\frac{y - 10}{y^2 + 3}$: Знаменатель $y^2 + 3$. Квадрат любого числа ($y^2$) всегда больше или равен нулю, а если прибавить 3, то $y^2 + 3$ всегда будет больше нуля. Значит, знаменатель никогда не равен нулю, и $y$ может быть любым числом. **Ответ: $y$ — любое число.** е) $\frac{32}{y} + \frac{y + 1}{y + 7}$: Здесь два знаменателя: $y$ и $y + 7$. $y \neq 0$. И $y + 7 \neq 0 \Rightarrow y \neq -7$. **Ответ: $y \neq 0$ и $y \neq -7$.** ### Задание 13 Найди область определения функции. Это те значения $x$, при которых функция существует. а) $y = \frac{1}{x - 2}$: Знаменатель $x - 2$ не может быть равен нулю. $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. Область определения: все числа, кроме 2. **Ответ: $x \neq 2$.** б) $y = \frac{2x + 3}{x(x + 1)}$: Знаменатель $x(x + 1)$ не может быть равен нулю. $x \neq 0$ и $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. Область определения: все числа, кроме 0 и -1. **Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.** в) $y = x + \frac{1}{x + 5}$: Знаменатель $x + 5$ не может быть равен нулю. $x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$. Область определения: все числа, кроме -5. **Ответ: $x \neq -5$.** ### Задание 14 При каком значении переменной значение дроби $\frac{x - 3}{5}$ равно: а) 1: $$\frac{x - 3}{5} = 1$$ $$x - 3 = 1 \cdot 5$$ $$x - 3 = 5$$ $$x = 5 + 3$$ $$x = 8$$ **Ответ: 8.** б) 0: $$\frac{x - 3}{5} = 0$$ Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель нет. Знаменатель 5 не равен нулю. Значит, $x - 3 = 0$. $$x - 3 = 0$$ $$x = 3$$ **Ответ: 3.** в) -1: $$\frac{x - 3}{5} = -1$$ $$x - 3 = -1 \cdot 5$$ $$x - 3 = -5$$ $$x = -5 + 3$$ $$x = -2$$ **Ответ: -2.** г) 3: $$\frac{x - 3}{5} = 3$$ $$x - 3 = 3 \cdot 5$$ $$x - 3 = 15$$ $$x = 15 + 3$$ $$x = 18$$ **Ответ: 18.** ### Задание 15 При каких значениях переменной равно нулю значение дроби: Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. а) $\frac{y - 5}{8}$: Числитель $y - 5$. Приравняем к нулю: $y - 5 = 0 \Rightarrow y = 5$. Знаменатель 8 не равен нулю. **Ответ: $y = 5$.** б) $\frac{2y + 3}{10}$: Числитель $2y + 3$. Приравняем к нулю: $2y + 3 = 0 \Rightarrow 2y = -3 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}$. Знаменатель 10 не равен нулю. **Ответ: $y = -\frac{3}{2}$.** в) $\frac{x(x - 1)}{x + 4}$: Числитель $x(x - 1)$. Приравняем к нулю: $x(x - 1) = 0$. Значит, $x = 0$ или $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Теперь проверим знаменатель: $x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$. Оба найденных значения (0 и 1) не равны -4, так что они подходят. **Ответ: $x = 0$ или $x = 1$.** г) $\frac{x(x + 3)?}{2x + 6}$: Здесь, кажется, опечатка и вместо знака вопроса должен быть множитель. Предполагаем, что это $\frac{x(x + 3)}{2x + 6}$. Числитель $x(x + 3)$. Приравняем к нулю: $x(x + 3) = 0$. Значит, $x = 0$ или $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Теперь проверим знаменатель: $2x + 6 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -6 \Rightarrow x \neq -3$. Мы получили, что $x$ не может быть равно -3. Значит, из найденных значений (0 и -3) подходит только $x = 0$. **Допущение: В выражении $\frac{x(x + 3)?}{2x + 6}$ знак вопроса означает пропущенный множитель, и выражение читается как $\frac{x(x + 3)}{2x + 6}$.** **Ответ: $x = 0$.** ### Задание 16 Найди значения переменной, при которых равно нулю значение дроби. а) $\frac{m + 4}{6}$: Числитель $m + 4 = 0 \Rightarrow m = -4$. Знаменатель 6 не равен нулю. **Ответ: $m = -4$.** б) $\frac{7 - 5n}{11}$: Числитель $7 - 5n = 0 \Rightarrow 7 = 5n \Rightarrow n = \frac{7}{5}$. Знаменатель 11 не равен нулю. **Ответ: $n = \frac{7}{5}$.** в) $\frac{b^2 - b}{b + 2}$: Числитель $b^2 - b = 0 \Rightarrow b(b - 1) = 0$. Значит, $b = 0$ или $b = 1$. Знаменатель $b + 2 \neq 0 \Rightarrow b \neq -2$. Оба значения (0 и 1) не равны -2. **Ответ: $b = 0$ или $b = 1$.** г) $\frac{y^2 - 25}{3y - 15}$: Числитель $y^2 - 25 = 0 \Rightarrow (y - 5)(y + 5) = 0$. Значит, $y = 5$ или $y = -5$. Знаменатель $3y - 15 \neq 0 \Rightarrow 3y \neq 15 \Rightarrow y \neq 5$. Так как $y$ не может быть равно 5, то из найденных значений (5 и -5) подходит только $y = -5$. **Ответ: $y = -5$.** ### Задание 17 Определи знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что: а) $a > 0$ и $b > 0$: Если $a$ положительное и $b$ положительное, то при делении положительного на положительное получаем положительное число. **Ответ: Дробь положительная ($> 0$).** б) $a > 0$ и $b < 0$: Если $a$ положительное и $b$ отрицательное, то при делении положительного на отрицательное получаем отрицательное число. **Ответ: Дробь отрицательная ($< 0$).** в) $a < 0$ и $b > 0$: Если $a$ отрицательное и $b$ положительное, то при делении отрицательного на положительное получаем отрицательное число. **Ответ: Дробь отрицательная ($< 0$).** г) $a < 0$ и $b < 0$: Если $a$ отрицательное и $b$ отрицательное, то при делении отрицательного на отрицательное получаем положительное число. **Ответ: Дробь положительная ($> 0$).** ### Задание 18 Докажи, что при любом значении переменной значение дроби: а) $\frac{3}{x^2 + 1}$ положительно: Мы знаем, что $x^2$ всегда больше или равно 0. Значит, $x^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1 (то есть всегда положительное число). В числителе у нас 3, это тоже положительное число. Положительное число, деленное на положительное число, всегда дает положительный результат. **Доказано.** б) $\frac{(a - 1)^2}{a^2 + 10}$ неотрицательно: В числителе у нас $(a - 1)^2$. Любое число в квадрате всегда больше или равно 0 (неотрицательное). В знаменателе $a^2 + 10$. Как мы уже знаем, $a^2 \ge 0$, значит $a^2 + 10 \ge 10$, то есть всегда положительное число. Неотрицательное число, деленное на положительное число, всегда дает неотрицательный результат. **Доказано.** в) $\frac{-5}{y^2 + 4}$ отрицательно: В числителе у нас -5, это отрицательное число. В знаменателе $y^2 + 4$. Как мы уже знаем, $y^2 \ge 0$, значит $y^2 + 4 \ge 4$, то есть всегда положительное число. Отрицательное число, деленное на положительное число, всегда дает отрицательный результат. **Доказано.** г) $\frac{(b - 3)^2}{-b^2 - 1}$ неположительно: В числителе у нас $(b - 3)^2$. Любое число в квадрате всегда больше или равно 0 (неотрицательное). В знаменателе $-b^2 - 1$. Мы знаем, что $b^2 \ge 0$, значит $-b^2 \le 0$. Если мы вычтем еще 1, то $-b^2 - 1$ будет всегда отрицательным (например, если $b=0$, то $-1$; если $b=1$, то $-1-1=-2$). Значит, мы делим неотрицательное число на отрицательное число. Результат будет либо 0 (если числитель равен 0, то есть $b=3$), либо отрицательное число. То есть результат всегда будет неположительным (меньше или равно 0). **Доказано.** ### Задание 19 При каком значении $a$ принимает наибольшее значение дробь: Чтобы дробь была наибольшей, нужно, чтобы ее числитель был как можно больше (если он положительный) и знаменатель был как можно меньше (но не равным нулю). а) $\frac{4}{a^2 + 5}$: Числитель равен 4 (постоянное положительное число). Чтобы дробь была наибольшей, знаменатель $a^2 + 5$ должен быть наименьшим. $a^2$ всегда $\ge 0$. Наименьшее значение $a^2$ — это 0, когда $a = 0$. Тогда знаменатель будет $0 + 5 = 5$. **Ответ: $a = 0$.** б) $\frac{10}{(a - 3)^2 + 1}$: Числитель равен 10 (постоянное положительное число). Чтобы дробь была наибольшей, знаменатель $(a - 3)^2 + 1$ должен быть наименьшим. $(a - 3)^2$ всегда $\ge 0$. Наименьшее значение $(a - 3)^2$ — это 0, когда $a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3$. Тогда знаменатель будет $0 + 1 = 1$. **Ответ: $a = 3$.**