Упрости выражение $a^5 \cdot a^7$

Привет! Давай вместе решим эти задачки на упрощение выражений и вычисления. Это совсем несложно, главное — помнить правила работы со степенями. ### Упростите выражение: **8.** а) $a^5 \cdot a^7$ Когда мы умножаем числа с одинаковым основанием (у нас это "a"), но разными степенями, мы складываем эти степени. $$a^5 \cdot a^7 = a^{5+7} = a^{12}$$ **Ответ: $a^{12}$** б) $c^3 \cdot c^4$ Здесь то же правило: складываем степени, потому что основание одинаковое (это "c"). $$c^3 \cdot c^4 = c^{3+4} = c^7$$ **Ответ: $c^7$** в) $r^2 \cdot r^9$ Опять складываем степени: $2+9=11$. Основание "r". $$r^2 \cdot r^9 = r^{2+9} = r^{11}$$ **Ответ: $r^{11}$** г) $p^6 \cdot p^3$ Складываем степени $6+3=9$. Основание "p". $$p^6 \cdot p^3 = p^{6+3} = p^9$$ **Ответ: $p^9$** **9.** а) $a^3b^5 \cdot a^4b^7$ Здесь у нас два разных основания: "a" и "b". Мы умножаем их по отдельности, применяя то же правило сложения степеней для каждого основания. Для "a": $a^3 \cdot a^4 = a^{3+4} = a^7$ Для "b": $b^5 \cdot b^7 = b^{5+7} = b^{12}$ Соединяем результаты: $$a^3b^5 \cdot a^4b^7 = a^{3+4}b^{5+7} = a^7b^{12}$$ **Ответ: $a^7b^{12}$** б) $c^4d^7 \cdot c^8d^3$ Так же, как и в предыдущем примере, для "c" и для "d" отдельно. Для "c": $c^4 \cdot c^8 = c^{4+8} = c^{12}$ Для "d": $d^7 \cdot d^3 = d^{7+3} = d^{10}$ Соединяем результаты: $$c^4d^7 \cdot c^8d^3 = c^{4+8}d^{7+3} = c^{12}d^{10}$$ **Ответ: $c^{12}d^{10}$** в) $m^9n^2 \cdot n^5m^3$ Здесь основания немного перепутаны местами, но это не страшно! Главное — собрать вместе одинаковые основания. Для "m": $m^9 \cdot m^3 = m^{9+3} = m^{12}$ Для "n": $n^2 \cdot n^5 = n^{2+5} = n^7$ Соединяем результаты: $$m^9n^2 \cdot n^5m^3 = m^{9+3}n^{2+5} = m^{12}n^7$$ **Ответ: $m^{12}n^7$** г) $p^2q^7 \cdot p^3q^6$ Опять собираем одинаковые основания. Для "p": $p^2 \cdot p^3 = p^{2+3} = p^5$ Для "q": $q^7 \cdot q^6 = q^{7+6} = q^{13}$ Соединяем результаты: $$p^2q^7 \cdot p^3q^6 = p^{2+3}q^{7+6} = p^5q^{13}$$ **Ответ: $p^5q^{13}$** **10.** а) $(z^2)^4$ Когда степень возводится в степень, мы перемножаем эти степени. $$(z^2)^4 = z^{2 \cdot 4} = z^8$$ **Ответ: $z^8$** б) $(a^6)^2$ Перемножаем степени: $6 \cdot 2 = 12$. Основание "a". $$(a^6)^2 = a^{6 \cdot 2} = a^{12}$$ **Ответ: $a^{12}$** в) $(f^6)^2 \cdot f^4$ Сначала возводим степень в степень, потом умножаем. $$(f^6)^2 = f^{6 \cdot 2} = f^{12}$$ Теперь умножаем: $f^{12} \cdot f^4 = f^{12+4} = f^{16}$$ **Ответ: $f^{16}$** г) $(d^4)^3 \cdot d^2$ Сначала возводим степень в степень, потом умножаем. $$(d^4)^3 = d^{4 \cdot 3} = d^{12}$$ Теперь умножаем: $d^{12} \cdot d^2 = d^{12+2} = d^{14}$$ **Ответ: $d^{14}$** **11.** а) $(a^3)^2 \cdot a^5$ Сначала возводим степень в степень: $(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$ Затем умножаем: $a^6 \cdot a^5 = a^{6+5} = a^{11}$$ **Ответ: $a^{11}$** б) $(d^4)^3 \cdot d^2$ Сначала $(d^4)^3 = d^{4 \cdot 3} = d^{12}$ Затем $d^{12} \cdot d^2 = d^{12+2} = d^{14}$$ **Ответ: $d^{14}$** в) $(x^5)^6$ Просто перемножаем степени: $5 \cdot 6 = 30$. Основание "x". $$(x^5)^6 = x^{5 \cdot 6} = x^{30}$$ **Ответ: $x^{30}$** г) $(x^3)^5$ Перемножаем степени: $3 \cdot 5 = 15$. Основание "x". $$(x^3)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15}$$ **Ответ: $x^{15}$** **12.** а) $\frac{(x^3)^2}{x^2 \cdot x^3}$ Сначала упростим числитель и знаменатель отдельно. Числитель: $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$ Знаменатель: $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5$ Теперь у нас деление: $\frac{x^6}{x^5}$. Когда мы делим числа с одинаковым основанием, но разными степенями, мы вычитаем степени. $$\frac{x^6}{x^5} = x^{6-5} = x^1 = x$$ **Ответ: $x$** б) $\frac{(x^4)^2 \cdot x^3}{x^5 \cdot (x^3)^2}$ Числитель: $(x^4)^2 = x^{4 \cdot 2} = x^8$ $x^8 \cdot x^3 = x^{8+3} = x^{11}$ Знаменатель: $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$ $x^5 \cdot x^6 = x^{5+6} = x^{11}$ Теперь делим: $$\frac{x^{11}}{x^{11}} = x^{11-11} = x^0 = 1$$ Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. **Ответ: $1$** в) $\frac{(x^3)^3}{x^2 \cdot x^4}$ Числитель: $(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$ Знаменатель: $x^2 \cdot x^4 = x^{2+4} = x^6$ Делим: $\frac{x^9}{x^6} = x^{9-6} = x^3$$ **Ответ: $x^3$** г) $\frac{(x^2)^4 \cdot x^3}{(x^3)^5}$ Числитель: $(x^2)^4 = x^{2 \cdot 4} = x^8$ $x^8 \cdot x^3 = x^{8+3} = x^{11}$ Знаменатель: $(x^3)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15}$ Делим: $\frac{x^{11}}{x^{15}} = x^{11-15} = x^{-4}$$ Когда степень отрицательная, это значит, что число находится в знаменателе: $$x^{-4} = \frac{1}{x^4}$$ **Ответ: $x^{-4}$ или $\frac{1}{x^4}$** **13. Вычислите:** а) $\frac{13^6 \cdot 2^6}{26^6}$ Здесь мы можем заметить, что у всех чисел одинаковая степень (6). Можно сначала умножить основания, а потом возвести в степень, или наоборот. Удобнее сначала умножить в числителе, а потом делить. $$(13 \cdot 2)^6 = 26^6$$ Тогда выражение станет: $$\frac{26^6}{26^6}$$ Когда мы делим одинаковые числа, результат всегда 1. $$\frac{26^6}{26^6} = 1$$ **Ответ: $1$** б) $\frac{2^8 \cdot 3^8}{6^8}$ Здесь тоже одинаковая степень (8). Сначала умножим основания в числителе. $$(2 \cdot 3)^8 = 6^8$$ Тогда выражение: $$\frac{6^8}{6^8} = 1$$ **Ответ: $1$** в) $\frac{7^5 \cdot 2^5}{14^5}$ Опять одинаковая степень (5). Сначала умножим основания в числителе. $$(7 \cdot 2)^5 = 14^5$$ Тогда выражение: $$\frac{14^5}{14^5} = 1$$ **Ответ: $1$**