Найди решение неравенства $x - 5 \ge 0$

Привет! Давай разберемся с этими неравенствами. Это как задачки, где нужно найти, при каких значениях буквы 'х' неравенство будет верным. **а) $x - 5 \ge 0$** Чтобы решить это неравенство, нам нужно "перенести" число 5 на другую сторону знака. Когда мы переносим число через знак неравенства, его знак меняется на противоположный. $$x \ge 5$$ Это значит, что 'х' может быть любым числом, которое равно 5 или больше 5. На числовой прямой это будет выглядеть так: ----[5]-----------> X **Ответ: $x \in [5; +\infty)$** **б) $4x - 3 \ge 0$** Сначала переносим число -3 на правую сторону, меняя знак: $$4x \ge 3$$ Теперь, чтобы найти 'х', нам нужно разделить обе части неравенства на 4. Так как 4 — это положительное число, знак неравенства не изменится. $$x \ge \frac{3}{4}$$ $$x \ge 0.75$$ Значит, 'х' может быть любым числом, которое равно 0.75 или больше 0.75. На числовой прямой это будет: ----[0.75]----------> X **Ответ: $x \in [0.75; +\infty)$** **в) $2x - 2 \le 0$** Сначала перенесем -2 на правую сторону: $$2x \le 2$$ Теперь разделим обе части на 2. Двойка положительная, так что знак не меняется. $$x \le \frac{2}{2}$$ $$x \le 1$$ 'Х' может быть любым числом, которое равно 1 или меньше 1. На числовой прямой это так: <----------[1]---- X **Ответ: $x \in (-\infty; 1]$** **г) $2x - 4 \le 4x - 3$** Здесь у нас 'х' есть с обеих сторон неравенства. Давай соберем все 'х' с одной стороны, а все числа — с другой. Я предлагаю перенести $4x$ налево, а $-4$ направо. Не забудь менять знаки при переносе! $$2x - 4x \le -3 + 4$$ Выполним вычисления: $$-2x \le 1$$ А вот теперь важный момент: нам нужно разделить на -2. Когда мы делим (или умножаем) неравенство на отрицательное число, **знак неравенства меняется на противоположный**! $$x \ge \frac{1}{-2}$$ $$x \ge -0.5$$ Значит, 'х' может быть любым числом, которое равно -0.5 или больше -0.5. На числовой прямой это будет: ----[-0.5]----------> X **Ответ: $x \in [-0.5; +\infty)$** **д) $\frac{x^2 - 1}{x - 1} \le 0$** Здесь немного посложнее, это дробь. Сначала давай вспомним, что $x^2 - 1$ — это формула разности квадратов, её можно записать как $(x-1)(x+1)$. Тогда наше неравенство станет таким: $$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \le 0$$ Теперь смотри, в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель $(x-1)$. Мы можем его сократить, но нужно помнить, что знаменатель не может быть равен нулю. То есть $x - 1 \ne 0$, а значит $x \ne 1$. После сокращения останется: $$x + 1 \le 0$$ Теперь решим это простое неравенство: $$x \le -1$$ Но мы помним про ограничение $x \ne 1$. Наш ответ $x \le -1$ не включает $x = 1$, так что это ограничение учтено. Итак, 'х' может быть любым числом, которое равно -1 или меньше -1. На числовой прямой это выглядит так: <----------[-1]---- X **Ответ: $x \in (-\infty; -1]$**