Вычислить выражения с дробями и степенями, а также упростить дробь со степенями.

Привет! Давай разберем эти задачки по математике. Тут нужно быть внимательным с дробями и степенями. **Задание 1)** Вычислим выражение: $$(1\frac{12}{35} - \frac{22}{7}) : \frac{7}{27}$$ Сначала разберёмся с тем, что внутри скобок. Приведём все дроби к общему знаменателю. Для $1\frac{12}{35}$ превратим смешанную дробь в неправильную: $1 \cdot 35 + 12 = 47$, значит, это $\frac{47}{35}$. А для дроби $\frac{22}{7}$ найдём такой же знаменатель, как у $\frac{47}{35}$. Знаменатель 35 делится на 7, значит, общий знаменатель будет 35. Чтобы получить 35 из 7, нужно умножить на 5. Значит, и числитель 22 тоже умножим на 5: $22 \cdot 5 = 110$. Получаем $\frac{110}{35}$. Теперь вычтем дроби: $$\frac{47}{35} - \frac{110}{35} = \frac{47 - 110}{35} = \frac{-63}{35}$$ Дробь $\frac{-63}{35}$ можно сократить, потому что и 63, и 35 делятся на 7. Получится $\frac{-9}{5}$. Теперь эту дробь нужно разделить на $\frac{7}{27}$. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь. То есть, умножим $\frac{-9}{5}$ на $\frac{27}{7}$. $$ \frac{-9}{5} \cdot \frac{27}{7} = \frac{-9 \cdot 27}{5 \cdot 7} = \frac{-243}{35} $$ Эту неправильную дробь можно перевести в смешанную. $243$ разделим на $35$. $243 \div 35 = 6$ и остаток $33$. Значит, будет $-6\frac{33}{35}$. **Ответ: $-6\frac{33}{35}$** **Задание 2)** Вычислим выражение: $$\frac{354}{35} : 1\frac{19}{27} = \frac{354 \cdot 27}{35 \cdot 40} = 25$$ Сначала превратим смешанную дробь $1\frac{19}{27}$ в неправильную. $1 \cdot 27 + 19 = 46$. Получается $\frac{46}{27}$. Теперь у нас деление: $$\frac{354}{35} : \frac{46}{27}$$ Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь: $$ \frac{354}{35} \cdot \frac{27}{46} $$ Можно сократить $354$ и $46$ на 2: $354 \div 2 = 177$, а $46 \div 2 = 23$. Получим: $$ \frac{177}{35} \cdot \frac{27}{23} $$ Умножим числители и знаменатели: $$ \frac{177 \cdot 27}{35 \cdot 23} = \frac{4779}{805} $$ Теперь разделим $4779$ на $805$: $4779 \div 805 \approx 5.936$. В задании написано, что равно 25, но это не так. Давай перепроверим вычисления. Допущение: Возможно, в задании была опечатка, и предполагалось другое выражение или результат. Давай ещё раз посмотрим на фото. Там есть $354 \cdot 27$ и $35 \cdot 40$. Возможно, имелось в виду $\frac{354}{35} \cdot \frac{27}{40}$? Но это не равно делению на $1\frac{19}{27}$, потому что $1\frac{19}{27} = \frac{46}{27}$. Если рассмотреть, как написано на листике, то это так: $$ \frac{354}{35} : 1\frac{19}{27} = \frac{354 \cdot 27}{35 \cdot 40} = 25 $$ Это выглядит как упрощение, но $1\frac{19}{27}$ не превращается в $\frac{40}{27}$ или $\frac{27}{40}$. Возможно, там было другое число или действие. Если бы было $\frac{354}{35} : \frac{40}{27}$, то тогда: $$ \frac{354}{35} \cdot \frac{27}{40} = \frac{9558}{1400} \approx 6.827 $$ Это тоже не 25. Если предположить, что в итоге должно получиться 25, и это пример из учебника, то, возможно, я неправильно прочитал дробь или там есть ошибка. Поскольку я не могу точно понять, что написано во второй части равенства $\frac{354 \cdot 27}{35 \cdot 40}$ и как она связана с делением на $1\frac{19}{27}$, я буду решать только первую часть, как написано. **Пересчёт первой части:** $$ \frac{354}{35} : 1\frac{19}{27} = \frac{354}{35} : \frac{46}{27} = \frac{354}{35} \cdot \frac{27}{46} = \frac{177}{35} \cdot \frac{27}{23} = \frac{4779}{805} $$ **Ответ: $\frac{4779}{805}$ или $5\frac{754}{805}$** **Задание N36 а)** Упростим выражение со степенями: $$\frac{2^5 + 2^4}{3^8 + 9^7 + 3^6}$$ Сначала разберемся с числителем $2^5 + 2^4$. $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ Значит, $32 + 16 = 48$. Теперь знаменатель $3^8 + 9^7 + 3^6$. Обрати внимание, что $9 = 3^2$. Значит, $9^7 = (3^2)^7 = 3^{2 \cdot 7} = 3^{14}$. Тогда знаменатель будет $3^8 + 3^{14} + 3^6$. Вынесем наименьшую степень тройки, то есть $3^6$, за скобки: $$ 3^6(3^{8-6} + 3^{14-6} + 1) = 3^6(3^2 + 3^8 + 1) $$ $3^2 = 9$ $3^8 = 3^6 \cdot 3^2 = 729 \cdot 9 = 6561$ Тогда выражение в скобках будет $9 + 6561 + 1 = 6571$. Итак, знаменатель равен $3^6 \cdot 6571 = 729 \cdot 6571 = 4786859$. Теперь разделим числитель на знаменатель: $$\frac{48}{4786859}$$ На картинке есть другое решение: $\frac{2^4(2+1)}{3^6(3^2+3^8+1)} = \frac{2^4 \cdot 3}{3^6(9+6561+1)} = \frac{16 \cdot 3}{3^6 \cdot 6571} = \frac{48}{729 \cdot 6571} = \frac{48}{4786859}$. Да, это правильный способ! Вынести общие множители. В числителе $2^5 + 2^4 = 2^4(2^1 + 1) = 2^4(2+1) = 2^4 \cdot 3$. В знаменателе $3^8 + 9^7 + 3^6 = 3^8 + (3^2)^7 + 3^6 = 3^8 + 3^{14} + 3^6$. Вынесем $3^6$ за скобки: $3^6(3^{8-6} + 3^{14-6} + 1) = 3^6(3^2 + 3^8 + 1) = 3^6(9 + 6561 + 1) = 3^6 \cdot 6571$. Тогда дробь будет: $$ \frac{2^4 \cdot 3}{3^6 \cdot 6571} $$ Сократим 3 в числителе и 3 в знаменателе (3 в первой степени от $3^6$): $$ \frac{2^4}{3^5 \cdot 6571} = \frac{16}{243 \cdot 6571} = \frac{16}{1597753} $$ **Ответ: $\frac{16}{1597753}$**