Привет! Давай вместе разберемся с этими выражениями со степенями. Чтобы их решить, нам пригодятся правила:
* При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
* При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$
* При возведении степени в степень показатели умножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
* Если у нас есть произведение в степени, то каждый множитель возводится в эту степень: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
* Если есть деление в степени (дробь), то и числитель, и знаменатель возводятся в эту степень: $({a \over b})^n = {a^n \over b^n}$
* Отрицательная степень: $a^{-n} = {1 \over a^n}$
Теперь к примерам:
а) $7^6 \cdot (7^2)^4 : 7^{11}$
Сначала возведём степень в степень: $(7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8$
Теперь у нас есть: $7^6 \cdot 7^8 : 7^{11}$
Умножаем: $7^6 \cdot 7^8 = 7^{6+8} = 7^{14}$
Делим: $7^{14} : 7^{11} = 7^{14-11} = 7^3$
$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$
**Ответ: 343**
б) $11^{-4} : 11^{13} : 11^{17}$
Когда мы делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются:
$11^{-4} : 11^{13} = 11^{-4-13} = 11^{-17}$
Теперь делим ещё раз: $11^{-17} : 11^{17} = 11^{-17-17} = 11^{-34}$
**Ответ: $11^{-34}$**
в) $5^9 : 5^{-12} : 5^{20}$
Делим степени, вычитая показатели:
$5^9 : 5^{-12} = 5^{9 - (-12)} = 5^{9+12} = 5^{21}$
Теперь делим ещё раз: $5^{21} : 5^{20} = 5^{21-20} = 5^1 = 5$
**Ответ: 5**
г) $10 : (5^{-2})^{13} : 25^{14}$
Сначала разберемся со степенями:
$(5^{-2})^{13} = 5^{-2 \cdot 13} = 5^{-26}$
А $25^{14}$ можно записать как степень числа 5, потому что $25 = 5^2$. Значит, $25^{14} = (5^2)^{14} = 5^{2 \cdot 14} = 5^{28}$
Теперь выражение выглядит так: $10 : 5^{-26} : 5^{28}$
Число 10 можно разложить на множители: $10 = 2 \cdot 5$
Тогда: $2 \cdot 5 : 5^{-26} : 5^{28}$
Разделим степени числа 5: $5 : 5^{-26} = 5^{1 - (-26)} = 5^{1+26} = 5^{27}$
Теперь у нас: $2 \cdot 5^{27} : 5^{28}$
Продолжаем делить степени числа 5: $5^{27} : 5^{28} = 5^{27-28} = 5^{-1}$
Значит, получаем $2 \cdot 5^{-1}$. А $5^{-1}$ это то же самое, что $1/5$.
Получаем $2 \cdot {1 \over 5} = {2 \over 5} = 0,4$
**Ответ: 0,4**
д) ${15^5 \over 3^3 \cdot 5^4} : {12^5 \over 3^6 \cdot 4^6}$
Давай сначала упростим каждую дробь по отдельности.
Первая дробь: ${15^5 \over 3^3 \cdot 5^4}$
$15^5 = (3 \cdot 5)^5 = 3^5 \cdot 5^5$
Значит, ${3^5 \cdot 5^5 \over 3^3 \cdot 5^4} = 3^{5-3} \cdot 5^{5-4} = 3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45$
Вторая дробь: ${12^5 \over 3^6 \cdot 4^6}$
$12^5 = (3 \cdot 4)^5 = 3^5 \cdot 4^5$
Значит, ${3^5 \cdot 4^5 \over 3^6 \cdot 4^6} = 3^{5-6} \cdot 4^{5-6} = 3^{-1} \cdot 4^{-1} = {1 \over 3} \cdot {1 \over 4} = {1 \over 12}$
Теперь нам нужно разделить результаты первой и второй дроби: $45 : {1 \over 12}$
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь: $45 \cdot 12$
$45 \cdot 12 = 540$
**Ответ: 540**
е) ${10^{10} \over 2^8 \cdot 5^9} : {17^6 \cdot 8^3 \over 34^7}$
Опять же, давай упростим каждую дробь по отдельности.
Первая дробь: ${10^{10} \over 2^8 \cdot 5^9}$
$10^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10}$
Значит, ${2^{10} \cdot 5^{10} \over 2^8 \cdot 5^9} = 2^{10-8} \cdot 5^{10-9} = 2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$
Вторая дробь: ${17^6 \cdot 8^3 \over 34^7}$
$8^3 = (2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9$
$34^7 = (2 \cdot 17)^7 = 2^7 \cdot 17^7$
Значит, ${17^6 \cdot 2^9 \over 2^7 \cdot 17^7} = 2^{9-7} \cdot 17^{6-7} = 2^2 \cdot 17^{-1} = 4 \cdot {1 \over 17} = {4 \over 17}$
Теперь делим результаты первой и второй дроби: $20 : {4 \over 17}$
Разделить на дробь — это умножить на обратную дробь:
$20 \cdot {17 \over 4}$
Можно сократить 20 и 4:
${20 \over 4} \cdot 17 = 5 \cdot 17 = 85$
**Ответ: 85**
