Верно ли утверждение: а) наибольшее значение дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$ равно 1?

Привет! Давай разберёмся с этим заданием по математике. Нам нужно понять, какое утверждение о дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$ верное. Сначала упростим знаменатель дроби. Заметим, что $4x^2 + 4xy + y^2$ — это формула квадрата суммы: $(2x + y)^2$. А 9 остаётся 9. Так что знаменатель будет выглядеть так: $$4x^2 + 9 + y^2 + 4xy = (4x^2 + 4xy + y^2) + 9 = (2x + y)^2 + 9$$ Теперь наша дробь выглядит как $\frac{18}{(2x + y)^2 + 9}$. Чтобы дробь была наибольшей, её знаменатель должен быть наименьшим (потому что 18 — это фиксированное положительное число). А чтобы дробь была наименьшей, её знаменатель должен быть наибольшим. Посмотрим на знаменатель $(2x + y)^2 + 9$. Так как $(2x + y)^2$ — это квадрат, его значение всегда больше или равно нулю. Самое маленькое значение квадрата — это 0. Это происходит, когда $2x + y = 0$. Если $2x + y = 0$, то наименьшее значение знаменателя будет: $$(0)^2 + 9 = 9$$ Теперь найдём наибольшее значение дроби, подставив это наименьшее значение знаменателя: $$\frac{18}{9} = 2$$ Значит, наибольшее значение дроби равно 2. Теперь посмотрим на наименьшее значение дроби. Для этого знаменатель должен быть как можно больше. Так как $(2x + y)^2$ может принимать сколь угодно большие значения (мы можем выбрать $x$ и $y$ такими, чтобы $2x + y$ было очень большим числом), то и весь знаменатель $(2x + y)^2 + 9$ может быть очень большим. Если знаменатель очень большой, то дробь будет стремиться к нулю, но никогда не станет нулём, потому что 18 сверху. А тем более не может быть 2, как указано в пункте «в». Итак, проверим утверждения: а) наибольшее значение дроби равно 1; Мы выяснили, что наибольшее значение дроби равно 2. Значит, это утверждение **неверное**. б) наибольшее значение дроби равно 2; Это утверждение **верное**. в) наименьшее значение дроби равно 2? Мы выяснили, что наименьшее значение дроби стремится к 0, но никогда его не достигает, если $x$ и $y$ могут быть любыми. Значение 2 — это наибольшее значение. Значит, это утверждение **неверное**. **Ответ: б)**