Реши неравенство $\frac{(x-4)^2(x+2)}{(x-5)^3} < 0$

Привет! Давай разберёмся с этим неравенством. Нам нужно решить неравенство: $$\frac{(x-4)^2(x+2)}{(x-5)^3} < 0$$ Шаг 1: Найдём значения $x$, при которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Это наши "критические точки". * Числитель равен нулю, когда $(x-4)^2 = 0$ или $(x+2) = 0$. * $(x-4)^2 = 0 \Rightarrow x-4 = 0 \Rightarrow x = 4$ * $(x+2) = 0 \Rightarrow x = -2$ * Знаменатель равен нулю, когда $(x-5)^3 = 0$. * $(x-5)^3 = 0 \Rightarrow x-5 = 0 \Rightarrow x = 5$ Итак, наши критические точки: $-2$, $4$, $5$. Шаг 2: Отметим эти точки на числовой прямой. Эти точки разбивают прямую на интервалы. Важно помнить, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 5$. А так как неравенство строгое (знак `<`), то и точки $-2$ и $4$ мы тоже не включаем в решение.

----($-2$)----($4$)----($5$)---->

X

Шаг 3: Теперь проверим знак выражения на каждом интервале. * **Интервал 1: $x < -2$** (например, возьмём $x = -3$) * $(x-4)^2 = (-3-4)^2 = (-7)^2 = 49$ (положительное число) * $(x+2) = (-3+2) = -1$ (отрицательное число) * $(x-5)^3 = (-3-5)^3 = (-8)^3 = -512$ (отрицательное число) * Тогда: $\frac{\text{положительное} \times \text{отрицательное}}{\text{отрицательное}} = \frac{\text{отрицательное}}{\text{отрицательное}} = \text{положительное}$. Нам нужно, чтобы было меньше нуля, поэтому этот интервал не подходит. * **Интервал 2: $-2 < x < 4$** (например, возьмём $x = 0$) * $(x-4)^2 = (0-4)^2 = (-4)^2 = 16$ (положительное число) * $(x+2) = (0+2) = 2$ (положительное число) * $(x-5)^3 = (0-5)^3 = (-5)^3 = -125$ (отрицательное число) * Тогда: $\frac{\text{положительное} \times \text{положительное}}{\text{отрицательное}} = \frac{\text{положительное}}{\text{отрицательное}} = \text{отрицательное}$. Этот интервал подходит, так как значение выражения меньше нуля. * **Интервал 3: $4 < x < 5$** (например, возьмём $x = 4.5$) * $(x-4)^2 = (4.5-4)^2 = (0.5)^2 = 0.25$ (положительное число) * $(x+2) = (4.5+2) = 6.5$ (положительное число) * $(x-5)^3 = (4.5-5)^3 = (-0.5)^3 = -0.125$ (отрицательное число) * Тогда: $\frac{\text{положительное} \times \text{положительное}}{\text{отрицательное}} = \frac{\text{положительное}}{\text{отрицательное}} = \text{отрицательное}$. Этот интервал тоже подходит. * **Интервал 4: $x > 5$** (например, возьмём $x = 6$) * $(x-4)^2 = (6-4)^2 = (2)^2 = 4$ (положительное число) * $(x+2) = (6+2) = 8$ (положительное число) * $(x-5)^3 = (6-5)^3 = (1)^3 = 1$ (положительное число) * Тогда: $\frac{\text{положительное} \times \text{положительное}}{\text{положительное}} = \frac{\text{положительное}}{\text{положительное}} = \text{положительное}$. Этот интервал не подходит. Шаг 4: Объединим интервалы, где выражение меньше нуля. Нам подходят интервалы $(-2; 4)$ и $(4; 5)$. **Ответ: $x \in (-2; 4) \cup (4; 5)$**