Упрости выражение: $(\frac{a-1}{a+1} - \frac{a+1}{a-1}) + \frac{2a}{1-a^2}$

Привет! Давай разберёмся с этими задачками. Начнём по порядку! **№1. Упростить выражение:** 1. $$\( \left(\frac{a-1}{a+1} - \frac{a+1}{a-1}\right) + \frac{2a}{1-a^2} \)$$ Сначала упростим то, что в скобках. Для этого приведём дроби к общему знаменателю $(a+1)(a-1)$, который равен $a^2-1$. Умножим числитель первой дроби на $(a-1)$, а числитель второй дроби на $(a+1)$. $$\frac{(a-1)(a-1) - (a+1)(a+1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{(a-1)^2 - (a+1)^2}{a^2-1}$$ Теперь раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$ и квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$: $$(a^2 - 2a + 1) - (a^2 + 2a + 1)$$ Раскрываем скобки и меняем знаки во втором выражении: $$a^2 - 2a + 1 - a^2 - 2a - 1 = -4a$$ Теперь выражение в скобках выглядит так: $$\frac{-4a}{a^2-1}$$ Вторая часть выражения была $\frac{2a}{1-a^2}$. Заметим, что $1-a^2 = -(a^2-1)$. Значит, мы можем переписать вторую дробь как $\frac{2a}{-(a^2-1)} = \frac{-2a}{a^2-1}$. Теперь сложим обе части: $$\frac{-4a}{a^2-1} + \frac{-2a}{a^2-1} = \frac{-4a - 2a}{a^2-1} = \frac{-6a}{a^2-1}$$ Или, если вынести минус из знаменателя: $$\frac{-6a}{-(1-a^2)} = \frac{6a}{1-a^2}$$ **Ответ: $\frac{6a}{1-a^2}$** 2. $$\( \frac{a}{a-4} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2} \)$$ Заметим, что $a-4$ можно разложить как $(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)$, используя формулу разности квадратов $A^2-B^2 = (A-B)(A+B)$. Тогда первая дробь будет $\frac{a}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)}$. Приведём дроби к общему знаменателю $(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)$. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(\sqrt{a}+2)$: $$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} = \frac{a+2\sqrt{a}}{a-4}$$ Теперь вычтем вторую дробь из первой: $$\frac{a}{a-4} - \frac{a+2\sqrt{a}}{a-4} = \frac{a - (a+2\sqrt{a})}{a-4} = \frac{a - a - 2\sqrt{a}}{a-4} = \frac{-2\sqrt{a}}{a-4}$$ **Ответ: $\frac{-2\sqrt{a}}{a-4}$** **№2. Решить уравнение:** $$(6x-5)^2 + (3x-2)(3x+2) = 36$$ Сначала раскроем скобки. Для $(6x-5)^2$ используем формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$: $$(6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 5 + 5^2 = 36x^2 - 60x + 25$$ Для $(3x-2)(3x+2)$ используем формулу разности квадратов $(A-B)(A+B) = A^2-B^2$: $$(3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$$ Теперь подставим это обратно в уравнение: $$36x^2 - 60x + 25 + 9x^2 - 4 = 36$$ Сгруппируем похожие члены (члены с $x^2$, члены с $x$ и свободные числа): $$(36x^2 + 9x^2) - 60x + (25 - 4) = 36$$ $$45x^2 - 60x + 21 = 36$$ Теперь перенесём 36 из правой части в левую с противоположным знаком, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $Ax^2+Bx+C=0$: $$45x^2 - 60x + 21 - 36 = 0$$ $$45x^2 - 60x - 15 = 0$$ Можно упростить это уравнение, разделив все члены на 15: $$3x^2 - 4x - 1 = 0$$ Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=3$, $b=-4$, $c=-1$. $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28$$ Теперь найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + \sqrt{28}}{6}$$ Поскольку $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$, то: $$x_1 = \frac{4 + 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(2 + \sqrt{7})}{6} = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - \sqrt{28}}{6}$$ $$x_2 = \frac{4 - 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(2 - \sqrt{7})}{6} = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$$ **Ответ: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$, $x_2 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$** **№3. Решить систему неравенств:** $$\begin{cases} (y+6)(5-y) + y(y-1) > 0 \ 0,3y(10y+20) - 3y^2 + 30 > 0 \end{cases}$$ Давай решим каждое неравенство по отдельности. **Первое неравенство:** $$(y+6)(5-y) + y(y-1) > 0$$ Раскроем скобки: $$(5y - y^2 + 30 - 6y) + (y^2 - y) > 0$$ $$-y^2 - y + 30 + y^2 - y > 0$$ Сгруппируем похожие члены: $$(-y^2 + y^2) + (-y - y) + 30 > 0$$ $$-2y + 30 > 0$$ Теперь решим это простое неравенство: $$-2y > -30$$ Разделим обе части на -2. Важно: при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный! $$y < \frac{-30}{-2}$$ $$y < 15$$ **Второе неравенство:** $$0,3y(10y+20) - 3y^2 + 30 > 0$$ Раскроем скобки: $$0,3y \cdot 10y + 0,3y \cdot 20 - 3y^2 + 30 > 0$$ $$3y^2 + 6y - 3y^2 + 30 > 0$$ Сгруппируем похожие члены: $$(3y^2 - 3y^2) + 6y + 30 > 0$$ $$6y + 30 > 0$$ Решим это неравенство: $$6y > -30$$ $$y > \frac{-30}{6}$$ $$y > -5$$ Теперь у нас есть два условия: $y < 15$ и $y > -5$. Чтобы найти решение системы, нам нужно найти числа, которые удовлетворяют обоим условиям. Это значит, что $y$ должно быть больше -5, но меньше 15. Можно записать это так: $$-5 < y < 15$$ **Ответ: $y \in (-5; 15)$** **№4. Задача про катер и плот:** Дано: * Собственная скорость катера ($v_к$) = 18 км/ч * Путь катера против течения ($S_{пр}$) = 4 км * Путь катера по течению ($S_{по}$) = 15 км * Путь плота ($S_{пл}$) = 2 км Нужно найти скорость течения реки ($v_{теч}$). **Допущение:** Время, которое требуется катеру на преодоление 4 км против течения и 15 км по течению, равно времени, которое требуется плоту, чтобы проплыть 2 км по этой реке. Сначала вспомним формулы для движения по реке: * Скорость катера по течению ($v_{по}$) = $v_к + v_{теч}$ * Скорость катера против течения ($v_{пр}$) = $v_к - v_{теч}$ * Скорость плота (плот плывёт только за счёт течения) = $v_{теч}$ Время ($t$) вычисляется как $t = \frac{S}{v}$. Время, которое потратил катер на весь путь ($t_{катера}$): $$t_{катера} = t_{пр} + t_{по} = \frac{S_{пр}}{v_{пр}} + \frac{S_{по}}{v_{по}}$$ $$t_{катера} = \frac{4}{18 - v_{теч}} + \frac{15}{18 + v_{теч}}$$ Время, которое потратил плот ($t_{плота}$): $$t_{плота} = \frac{S_{пл}}{v_{теч}} = \frac{2}{v_{теч}}$$ По условию задачи, эти времена равны: $t_{катера} = t_{плота}$. Значит, мы можем составить уравнение: $$\frac{4}{18 - v_{теч}} + \frac{15}{18 + v_{теч}} = \frac{2}{v_{теч}}$$ Чтобы решить это уравнение, нужно привести все дроби к общему знаменателю: $v_{теч}(18 - v_{теч})(18 + v_{теч})$. Умножим каждую дробь на недостающие множители в числителе и знаменателе: $$\frac{4v_{теч}(18 + v_{теч}) + 15v_{теч}(18 - v_{теч})}{(18 - v_{теч})(18 + v_{теч})v_{теч}} = \frac{2(18 - v_{теч})(18 + v_{теч})}{(18 - v_{теч})(18 + v_{теч})v_{теч}}$$ Теперь, когда знаменатели одинаковые (и мы знаем, что $v_{теч} \ne 0$, $v_{теч} \ne 18$), можно приравнять числители: $$4v_{теч}(18 + v_{теч}) + 15v_{теч}(18 - v_{теч}) = 2(18 - v_{теч})(18 + v_{теч})$$ Раскроем скобки: $$(72v_{теч} + 4v_{теч}^2) + (270v_{теч} - 15v_{теч}^2) = 2(18^2 - v_{теч}^2)$$ $$72v_{теч} + 4v_{теч}^2 + 270v_{теч} - 15v_{теч}^2 = 2(324 - v_{теч}^2)$$ $$342v_{теч} - 11v_{теч}^2 = 648 - 2v_{теч}^2$$ Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$-11v_{теч}^2 + 2v_{теч}^2 + 342v_{теч} - 648 = 0$$ $$-9v_{теч}^2 + 342v_{теч} - 648 = 0$$ Разделим всё на -9, чтобы упростить уравнение: $$v_{теч}^2 - 38v_{теч} + 72 = 0$$ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=1$, $b=-38$, $c=72$. $$D = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 1444 - 288 = 1156$$ Найдём $\sqrt{D}$: $\sqrt{1156} = 34$. Теперь найдём корни по формуле $v_{теч} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$v_{теч_1} = \frac{-(-38) + 34}{2 \cdot 1} = \frac{38 + 34}{2} = \frac{72}{2} = 36$$ $$v_{теч_2} = \frac{-(-38) - 34}{2 \cdot 1} = \frac{38 - 34}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ У нас получилось два возможных значения для скорости течения: 36 км/ч и 2 км/ч. Но скорость течения не может быть больше собственной скорости катера, когда катер идёт против течения ($v_к - v_{теч}$ должно быть положительным). Если $v_{теч} = 36$ км/ч, то $18 - 36 = -18$ км/ч, что невозможно (катер не может плыть против течения с отрицательной скоростью). Значит, $v_{теч} = 36$ км/ч не подходит. Поэтому выбираем второй вариант: $v_{теч} = 2$ км/ч. Проверим: $18 - 2 = 16$ км/ч (против течения) и $18 + 2 = 20$ км/ч (по течению) — всё логично. **Ответ: Скорость течения 2 км/ч.**