Укажи допустимые значения переменной в выражении $x^2 - 8x + 9$

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Это математика, так что будь внимателен, но не переживай — я объясню всё просто. **11. Укажите допустимые значения переменной в выражении:** Допустимые значения — это такие значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Например, на ноль делить нельзя, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю. А ещё нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа, но здесь таких нет. а) $x^2 - 8x + 9$ Здесь нет деления и корней, поэтому $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число.** б) $\frac{1}{6x-3}$ Знаменатель $6x-3$ не должен быть равен нулю. $6x - 3 \neq 0$ $6x \neq 3$ $x \neq \frac{3}{6}$ $x \neq \frac{1}{2}$ **Ответ: $x \neq \frac{1}{2}$** в) $\frac{3x-6}{7}$ Знаменатель равен 7, он никогда не будет равен нулю. Поэтому $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число.** г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$ Знаменатель $4x(x+1)$ не должен быть равен нулю. $4x(x+1) \neq 0$ Значит, $4x \neq 0$ И $x+1 \neq 0$. $x \neq 0$ И $x \neq -1$. **Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$** д) $\frac{x-5}{x^2+25-3x}$ Знаменатель $x^2+25-3x$ не должен быть равен нулю. $x^2 - 3x + 25 \neq 0$ Давай попробуем найти корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 25 = 0$ с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$). $a=1, b=-3, c=25$ $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 9 - 100 = -91$ Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), у этого квадратного уравнения нет действительных корней. Это значит, что $x^2 - 3x + 25$ всегда больше нуля и никогда не равно нулю. Поэтому $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число.** е) $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x+8}$ Знаменатель $x+8$ не должен быть равен нулю. $x+8 \neq 0$ $x \neq -8$ **Ответ: $x \neq -8$** **12. Найдите допустимые значения переменной в выражении:** а) $\frac{5y-8}{11}$ Знаменатель равен 11, он никогда не будет равен нулю. Поэтому $y$ может быть любым числом. **Ответ: $y$ — любое число.** б) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$ Знаменатель $y^2-2y$ не должен быть равен нулю. $y^2 - 2y \neq 0$ Вынесем $y$ за скобки: $y(y-2) \neq 0$ Значит, $y \neq 0$ И $y-2 \neq 0$. $y \neq 0$ И $y \neq 2$. **Ответ: $y \neq 0$ и $y \neq 2$** в) $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$ Здесь два знаменателя: $y-6$ и $y+6$. Они оба не должны быть равны нулю. $y-6 \neq 0 \Rightarrow y \neq 6$ $y+6 \neq 0 \Rightarrow y \neq -6$ **Ответ: $y \neq 6$ и $y \neq -6$** г) $\frac{y-10}{y^2+3}$ Знаменатель $y^2+3$ не должен быть равен нулю. Так как $y^2$ всегда больше или равно 0 (любое число в квадрате не может быть отрицательным), то $y^2+3$ всегда будет больше 0 (минимум 3). Значит, знаменатель никогда не равен нулю. Поэтому $y$ может быть любым числом. **Ответ: $y$ — любое число.** д) $\frac{32}{y-1} - \frac{y+1}{y+7}$ Здесь два знаменателя: $y-1$ и $y+7$. Они оба не должны быть равны нулю. $y-1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$ $y+7 \neq 0 \Rightarrow y \neq -7$ **Ответ: $y \neq 1$ и $y \neq -7$** **13. Найдите область определения функции:** Область определения функции — это все значения $x$, при которых функция имеет смысл. Здесь тоже нужно следить, чтобы знаменатель не был равен нулю. a) $y = \frac{1}{x-2}$ Знаменатель $x-2$ не должен быть равен нулю. $x-2 \neq 0$ $x \neq 2$ **Ответ: $x \neq 2$** б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$ Знаменатель $x(x+1)$ не должен быть равен нулю. $x \neq 0$ И $x+1 \neq 0$ $x \neq 0$ И $x \neq -1$ **Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$** в) $y = x + \frac{1}{x+5}$ Знаменатель $x+5$ не должен быть равен нулю. $x+5 \neq 0$ $x \neq -5$ **Ответ: $x \neq -5$** **14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x-3}{5}$ равно:** Чтобы дробь $\frac{x-3}{5}$ была равна заданному числу, нужно приравнять её к этому числу и решить уравнение. а) 1: $\frac{x-3}{5} = 1$ Умножим обе части на 5: $x-3 = 5$ $x = 5+3$ $x = 8$ **Ответ: 8** б) 0: $\frac{x-3}{5} = 0$ Умножим обе части на 5: $x-3 = 0$ $x = 3$ **Ответ: 3** в) -1: $\frac{x-3}{5} = -1$ Умножим обе части на 5: $x-3 = -5$ $x = -5+3$ $x = -2$ **Ответ: -2** г) 3? $\frac{x-3}{5} = 3$ Умножим обе части на 5: $x-3 = 15$ $x = 15+3$ $x = 18$ **Ответ: 18** **15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби:** Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. а) $\frac{y-5}{8}$ Числитель $y-5$ должен быть равен нулю. $y-5 = 0$ $y = 5$ Знаменатель 8 не равен нулю, так что всё в порядке. **Ответ: $y = 5$** б) $\frac{2y+3}{10}$ Числитель $2y+3$ должен быть равен нулю. $2y+3 = 0$ $2y = -3$ $y = -\frac{3}{2}$ или $y = -1.5$ Знаменатель 10 не равен нулю. **Ответ: $y = -1.5$** в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$ Числитель $x(x-1)$ должен быть равен нулю, а знаменатель $x+4$ не должен быть равен нулю. $x(x-1) = 0$ Это значит, что $x=0$ или $x-1=0$, то есть $x=1$. Проверим знаменатель: Если $x=0$, то $x+4 = 0+4 = 4 \neq 0$. Подходит. Если $x=1$, то $x+4 = 1+4 = 5 \neq 0$. Подходит. **Ответ: $x = 0$ и $x = 1$** г) $\frac{x(x+3)^2}{2x+6}$ Числитель $x(x+3)^2$ должен быть равен нулю, а знаменатель $2x+6$ не должен быть равен нулю. $x(x+3)^2 = 0$ Это значит, что $x=0$ или $(x+3)^2=0$, то есть $x+3=0$, значит $x=-3$. Проверим знаменатель: $2x+6 \neq 0$ $2(x+3) \neq 0$ $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$. Если $x=0$, то знаменатель $2(0)+6 = 6 \neq 0$. Подходит. Если $x=-3$, то знаменатель $2(-3)+6 = -6+6 = 0$. А на ноль делить нельзя! Поэтому $x=-3$ не является допустимым значением, и дробь при этом значении не определена, а значит, не может быть равна нулю. **Ответ: $x = 0$** **16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби:** Это задание такое же, как и предыдущее! Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. а) $\frac{m+4}{6}$ Числитель $m+4$ должен быть равен нулю. $m+4 = 0$ $m = -4$ Знаменатель 6 не равен нулю. **Ответ: $m = -4$** б) $\frac{7-5n}{11}$ Числитель $7-5n$ должен быть равен нулю. $7-5n = 0$ $-5n = -7$ $n = \frac{-7}{-5}$ $n = 1.4$ Знаменатель 11 не равен нулю. **Ответ: $n = 1.4$** в) $\frac{b^2-b}{b+2}$ Числитель $b^2-b$ должен быть равен нулю, а знаменатель $b+2$ не должен быть равен нулю. $b^2-b = 0$ Вынесем $b$ за скобки: $b(b-1)=0$ Это значит, что $b=0$ или $b-1=0$, то есть $b=1$. Проверим знаменатель: $b+2 \neq 0 \Rightarrow b \neq -2$. Оба наших значения ($b=0$ и $b=1$) не равны -2, поэтому они подходят. **Ответ: $b = 0$ и $b = 1$** г) $\frac{y^2-25}{3y-15}$ Числитель $y^2-25$ должен быть равен нулю, а знаменатель $3y-15$ не должен быть равен нулю. $y^2-25 = 0$ Это разность квадратов: $(y-5)(y+5)=0$ Значит, $y-5=0$ или $y+5=0$. $y=5$ или $y=-5$. Проверим знаменатель: $3y-15 \neq 0$ $3(y-5) \neq 0$ $y-5 \neq 0 \Rightarrow y \neq 5$. Если $y=5$, то знаменатель $3(5)-15 = 15-15 = 0$. На ноль делить нельзя, поэтому $y=5$ не подходит. Если $y=-5$, то знаменатель $3(-5)-15 = -15-15 = -30 \neq 0$. Подходит. **Ответ: $y = -5$** **17. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что:** Помни правило: плюс на плюс даёт плюс, минус на минус даёт плюс, а плюс на минус (или минус на плюс) даёт минус. а) $a > 0$ и $b > 0$ Оба числа положительные, значит, $\frac{\text{положительное}}{\text{положительное}} = \text{положительное}$. **Ответ: Дробь положительная.** б) $a > 0$ и $b < 0$ Числитель положительный, знаменатель отрицательный, значит, $\frac{\text{положительное}}{\text{отрицательное}} = \text{отрицательное}$. **Ответ: Дробь отрицательная.** в) $a < 0$ и $b > 0$ Числитель отрицательный, знаменатель положительный, значит, $\frac{\text{отрицательное}}{\text{положительное}} = \text{отрицательное}$. **Ответ: Дробь отрицательная.** г) $a < 0$ и $b < 0$ Оба числа отрицательные, значит, $\frac{\text{отрицательное}}{\text{отрицательное}} = \text{положительное}$. **Ответ: Дробь положительная.** **18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:** а) $\frac{3}{x^2+1}$ положительно; Числитель равен 3, это положительное число. Знаменатель $x^2+1$: $x^2$ всегда больше или равно 0 (любое число в квадрате). Значит, $x^2+1$ всегда будет больше или равно $0+1=1$. То есть знаменатель всегда положительный. Дробь, где числитель положительный (3) и знаменатель положительный ($x^2+1$), всегда будет положительной. **Доказано.** б) $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ неотрицательно; «Неотрицательно» означает, что число больше или равно нулю. Числитель $(a-1)^2$: любое число в квадрате всегда больше или равно 0. Так что числитель неотрицательный. Знаменатель $a^2+10$: $a^2$ всегда больше или равно 0. Значит, $a^2+10$ всегда будет больше или равно $0+10=10$. То есть знаменатель всегда положительный. Дробь, где числитель неотрицательный ($(a-1)^2$) и знаменатель положительный ($a^2+10$), всегда будет неотрицательной (то есть больше или равна нулю). Она будет равна нулю только если $(a-1)^2 = 0$, то есть $a=1$. В остальных случаях она будет положительной. **Доказано.** в) $\frac{-5}{y^2+4}$ отрицательно; Числитель равен -5, это отрицательное число. Знаменатель $y^2+4$: $y^2$ всегда больше или равно 0. Значит, $y^2+4$ всегда будет больше или равно $0+4=4$. То есть знаменатель всегда положительный. Дробь, где числитель отрицательный (-5) и знаменатель положительный ($y^2+4$), всегда будет отрицательной. **Доказано.** г) $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$ неположительно. «Неположительно» означает, что число меньше или равно нулю. Числитель $(b-3)^2$: любое число в квадрате всегда больше или равно 0. Так что числитель неотрицательный. Знаменатель $-b^2-1$: $b^2$ всегда больше или равно 0. Значит, $-b^2$ всегда меньше или равно 0. Тогда $-b^2-1$ всегда будет меньше или равно $0-1=-1$. То есть знаменатель всегда отрицательный. Дробь, где числитель неотрицательный ($(b-3)^2$) и знаменатель отрицательный ($-b^2-1$), всегда будет неположительной (то есть меньше или равна нулю). Она будет равна нулю только если $(b-3)^2=0$, то есть $b=3$. В остальных случаях она будет отрицательной. **Доказано.** **19. При каком значении $a$ принимает наибольшее значение дробь:** Чтобы дробь была наибольшей, числитель должен быть как можно больше, а знаменатель как можно меньше (но не ноль и не отрицательное число, если числитель положительный). Если числитель фиксирован и положителен, то для наибольшего значения дроби знаменатель должен быть минимальным. а) $\frac{4}{a^2+5}$ Числитель равен 4, он положительный и постоянный. Знаменатель $a^2+5$: $a^2$ всегда больше или равно 0. Значит, наименьшее значение $a^2$ равно 0, когда $a=0$. Тогда наименьшее значение знаменателя будет $0+5=5$. При этом значении дробь будет $\frac{4}{5}$. Если $a$ будет любым другим числом (не 0), то $a^2$ будет положительным, $a^2+5$ будет больше 5, и дробь будет меньше $\frac{4}{5}$. **Ответ: При $a = 0$** б) $\frac{10}{(a-3)^2+1}$ Числитель равен 10, он положительный и постоянный. Знаменатель $(a-3)^2+1$: $(a-3)^2$ всегда больше или равно 0. Значит, наименьшее значение $(a-3)^2$ равно 0, когда $a-3=0$, то есть $a=3$. Тогда наименьшее значение знаменателя будет $0+1=1$. При этом значении дробь будет $\frac{10}{1}=10$. Если $a$ будет любым другим числом (не 3), то $(a-3)^2$ будет положительным, $(a-3)^2+1$ будет больше 1, и дробь будет меньше 10. **Ответ: При $a = 3$**