Упрости выражение $\frac{2(\cos\alpha + \cos3\alpha)}{2\sin2\alpha + \sin4\alpha}$

Привет! Давай вместе разберёмся с этим выражением. Нам нужно упростить выражение: $$ \frac{2(\cos\alpha + \cos3\alpha)}{2\sin2\alpha + \sin4\alpha} $$ Для начала вспомним две важные формулы из тригонометрии: 1. Сумма косинусов: $$\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$ 2. Синус двойного угла: $$\sin2x = 2\sin x \cos x$$ Теперь применим эти формулы к нашему выражению: **Шаг 1: Упрощаем числитель (верхнюю часть дроби)** Используем формулу суммы косинусов для $(\cos\alpha + \cos3\alpha)$: Здесь $A = \alpha$ и $B = 3\alpha$. $$ \cos\alpha + \cos3\alpha = 2\cos\left(\frac{\alpha+3\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-3\alpha}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{4\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{-2\alpha}{2}\right) = 2\cos(2\alpha)\cos(-\alpha) $$ Так как $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$, то: $$ \cos\alpha + \cos3\alpha = 2\cos(2\alpha)\cos\alpha $$ Теперь подставим это обратно в числитель: $$ 2(2\cos(2\alpha)\cos\alpha) = 4\cos(2\alpha)\cos\alpha $$ **Шаг 2: Упрощаем знаменатель (нижнюю часть дроби)** У нас есть $2\sin2\alpha + \sin4\alpha$. Мы можем представить $\sin4\alpha$ как $\sin(2 \cdot 2\alpha)$. Используем формулу синуса двойного угла для $\sin4\alpha$: $$ \sin4\alpha = 2\sin2\alpha \cos2\alpha $$ Теперь подставим это в знаменатель: $$ 2\sin2\alpha + 2\sin2\alpha \cos2\alpha $$ Вынесем общий множитель $2\sin2\alpha$ за скобки: $$ 2\sin2\alpha(1 + \cos2\alpha) $$ **Шаг 3: Собираем упрощённые числитель и знаменатель в одну дробь** $$ \frac{4\cos(2\alpha)\cos\alpha}{2\sin2\alpha(1 + \cos2\alpha)} $$ **Шаг 4: Продолжаем упрощать** Мы знаем, что $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$ (это ещё одна полезная формула, которая следует из формулы косинуса двойного угла: $\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$, откуда $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$). А также $2\sin2\alpha = 2(2\sin\alpha \cos\alpha) = 4\sin\alpha \cos\alpha$. Подставим это в знаменатель: $$ 2\sin2\alpha(1 + \cos2\alpha) = 2(2\sin\alpha \cos\alpha)(2\cos^2\alpha) = 8\sin\alpha \cos^3\alpha $$ Вернёмся к нашей дроби: $$ \frac{4\cos(2\alpha)\cos\alpha}{4\sin\alpha \cos\alpha} $$ Сократим $4$ и $\cos\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$): $$ \frac{\cos(2\alpha)}{\sin\alpha} $$ Хм, давай посмотрим, где я мог ошибиться в последнем шаге. Ах, в знаменателе был $2\sin2\alpha(1 + \cos2\alpha)$, а не $4\sin\alpha \cos\alpha(1 + \cos2\alpha)$. Давай вернёмся к: $$ \frac{4\cos(2\alpha)\cos\alpha}{2\sin2\alpha(1 + \cos2\alpha)} $$ Мы можем сократить $4$ и $2$ на $2$, получим: $$ \frac{2\cos(2\alpha)\cos\alpha}{\sin2\alpha(1 + \cos2\alpha)} $$ Теперь вспомним, что $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $1+\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$. Подставим это: $$ \frac{2\cos(2\alpha)\cos\alpha}{(2\sin\alpha\cos\alpha)(2\cos^2\alpha)} = \frac{2\cos(2\alpha)\cos\alpha}{4\sin\alpha\cos^3\alpha} $$ Сокращаем $2$ и $4$ на $2$, а также $\cos\alpha$ и $\cos^3\alpha$ на $\cos\alpha$ (если $\cos\alpha \neq 0$): $$ \frac{\cos(2\alpha)}{2\sin\alpha\cos^2\alpha} $$ Это выражение можно ещё немного упростить, если вспомнить, что $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha$. Но здесь у нас $\cos^2\alpha$, а не $\cos\alpha$. Давай проверим запись из изображения, там есть продолжение. Видимо, я ошибся в интерпретации следующего шага на изображении. На изображении видно, что после первого равенства получается: $$ 2\frac{2\cos\frac{4\alpha}{2}\cos\frac{-2\alpha}{2}}{...} = 2\frac{2\cos2\alpha\cos(-\alpha)}{...} $$ Это то, что мы получили в числителе. В знаменателе на изображении (частично видно) что-то вроде $2\sin2\alpha + \sin4\alpha = 2\sin2\alpha + 2\sin2\alpha\cos2\alpha = 2\sin2\alpha(1+\cos2\alpha)$. Это тоже верно. Тогда вся дробь: $$ \frac{2(2\cos2\alpha\cos\alpha)}{2\sin2\alpha(1+\cos2\alpha)} = \frac{4\cos2\alpha\cos\alpha}{2\sin2\alpha(1+\cos2\alpha)} $$ Сокращаем $4$ и $2$ на $2$: $$ \frac{2\cos2\alpha\cos\alpha}{\sin2\alpha(1+\cos2\alpha)} $$ Используем формулу $1+\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$: $$ \frac{2\cos2\alpha\cos\alpha}{\sin2\alpha(2\cos^2\alpha)} $$ Используем формулу $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$: $$ \frac{2\cos2\alpha\cos\alpha}{(2\sin\alpha\cos\alpha)(2\cos^2\alpha)} $$ Сокращаем $2\cos\alpha$ из числителя и знаменателя: $$ \frac{\cos2\alpha}{2\sin\alpha\cos^2\alpha} $$ Это и есть максимально упрощённая форма. Возможно, на изображении показан другой путь упрощения или конечный ответ, который сейчас не видно полностью. Но до этого шага мы дошли правильно. Если нужно получить ответ в другом виде, например, через тангенс, то можно так: $$ \frac{\cos2\alpha}{2\sin\alpha\cos^2\alpha} = \frac{\cos2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha \cdot \cos\alpha} = \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha \cdot \cos\alpha} = \frac{1}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} = \frac{1}{\cos\alpha} \cdot \cot2\alpha $$ **Ответ:** $$\frac{\cos2\alpha}{2\sin\alpha\cos^2\alpha}$$ или $$\frac{\cot2\alpha}{\cos\alpha}$$