Укажи допустимые значения переменной в выражении: a) x^2 - 8x + 9

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Они про дроби, где есть буквы (переменные). Главное правило, которое нужно помнить, это то, что знаменатель дроби (число или выражение внизу) никогда не может быть равен нулю. Делить на ноль нельзя! **11. Укажите допустимые значения переменной в выражении:** В этом задании нужно найти, при каких значениях буквы (переменной) знаменатель не равен нулю. Если знаменателя нет (как в пунктах а и б), то любая буква подходит. a) $x^2 - 8x + 9$: Здесь нет знаменателя, поэтому $x$ может быть любым числом. б) $\frac{1}{6x-3}$: Знаменатель $6x-3$ не должен быть равен 0. $$6x - 3 \neq 0$$ $$6x \neq 3$$ $$x \neq \frac{3}{6}$$ $$x \neq \frac{1}{2}$$ Допустимые значения: $x$ – любое число, кроме $\frac{1}{2}$. в) $\frac{3x-6}{7}$: Знаменатель равен 7, это не ноль. Поэтому $x$ может быть любым числом. г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$: Знаменатель $4x(x+1)$ не должен быть равен 0. Это значит, что $4x \neq 0$ и $x+1 \neq 0$. $$x \neq 0$$ $$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$$ Допустимые значения: $x$ – любое число, кроме 0 и -1. д) $\frac{x-5}{x^2+25-3x}$: Знаменатель $x^2+25-3x$ не должен быть равен 0. $$x^2 - 3x + 25 \neq 0$$ Чтобы найти, когда это равно 0, можно попробовать найти дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=-3$, $c=25$. $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 9 - 100 = -91$$ Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и коэффициент при $x^2$ положительный ($a=1 > 0$), то выражение $x^2 - 3x + 25$ всегда больше нуля, то есть никогда не равно нулю. Значит, $x$ может быть любым числом. е) $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x+8}$: Здесь два знаменателя: $x+8$. Оба не должны быть равны 0. $$x+8 \neq 0$$ $$x \neq -8$$ Допустимые значения: $x$ – любое число, кроме -8. **12. Найдите допустимые значения переменной в выражении:** Здесь тоже нужно следить, чтобы знаменатель не был равен нулю. a) $\frac{5y-8}{11}$: Знаменатель равен 11, это не ноль. Значит, $y$ может быть любым числом. б) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$: Знаменатель $y^2-2y$ не должен быть равен 0. Вынесем $y$ за скобки: $y(y-2) \neq 0$. Это значит, что $y \neq 0$ и $y-2 \neq 0$. $$y \neq 0$$ $$y-2 \neq 0 \Rightarrow y \neq 2$$ Допустимые значения: $y$ – любое число, кроме 0 и 2. г) $\frac{y-10}{y^2+3}$: Знаменатель $y^2+3$ не должен быть равен 0. $y^2$ всегда больше или равно 0. Если к нему прибавить 3, то $y^2+3$ всегда будет больше 0 (например, $0+3=3$, $1+3=4$, $(-1)+3=4$). Значит, знаменатель никогда не равен 0. $y$ может быть любым числом. е) $\frac{32}{y-1} - \frac{y+1}{y+7}$: Здесь два знаменателя: $y-1$ и $y+7$. Оба не должны быть равны 0. $$y-1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$$ $$y+7 \neq 0 \Rightarrow y \neq -7$$ Допустимые значения: $y$ – любое число, кроме 1 и -7. **13. Найдите область определения функции:** Область определения — это все значения, которые может принимать $x$, при которых функция имеет смысл. Опять же, главное правило: знаменатель не должен быть равен нулю. a) $y = \frac{1}{x-2}$: Знаменатель $x-2$ не должен быть равен 0. $$x-2 \neq 0$$ $$x \neq 2$$ Область определения: все числа, кроме 2. б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$: Знаменатель $x(x+1)$ не должен быть равен 0. $$x \neq 0$$ $$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$$ Область определения: все числа, кроме 0 и -1. в) $y = x + \frac{1}{x+5}$: Знаменатель $x+5$ не должен быть равен 0. $$x+5 \neq 0$$ $$x \neq -5$$ Область определения: все числа, кроме -5. **14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x-3}{5}$ равно:** Здесь нужно подставить значение дроби и решить уравнение, чтобы найти $x$. а) 1: $$\frac{x-3}{5} = 1$$ Умножим обе части на 5: $$x-3 = 5$$ $$x = 5 + 3$$ $$x = 8$$ б) 0: $$\frac{x-3}{5} = 0$$ Чтобы дробь была равна 0, её числитель должен быть равен 0 (знаменатель при этом не 0, что верно, так как $5 \neq 0$). $$x-3 = 0$$ $$x = 3$$ в) -1: $$\frac{x-3}{5} = -1$$ Умножим обе части на 5: $$x-3 = -5$$ $$x = -5 + 3$$ $$x = -2$$ г) 3? $$\frac{x-3}{5} = 3$$ Умножим обе части на 5: $$x-3 = 15$$ $$x = 15 + 3$$ $$x = 18$$ **15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби:** Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. a) $\frac{y-5}{8}$: Числитель $y-5$ должен быть равен 0. $$y-5 = 0$$ $$y = 5$$ (Знаменатель 8 не равен 0, всё хорошо). б) $\frac{2y+3}{10}$: Числитель $2y+3$ должен быть равен 0. $$2y+3 = 0$$ $$2y = -3$$ $$y = -\frac{3}{2}$$ или $y = -1.5$ (Знаменатель 10 не равен 0, всё хорошо). в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$: Числитель $x(x-1)$ должен быть равен 0, а знаменатель $x+4$ не должен быть равен 0. Числитель $x(x-1) = 0$ когда $x=0$ или $x-1=0 \Rightarrow x=1$. Проверим знаменатель: если $x=0$, то $0+4=4 \neq 0$. Если $x=1$, то $1+4=5 \neq 0$. Всё подходит. Значения $x$: 0 и 1. г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$: Числитель $x(x+3)$ должен быть равен 0, а знаменатель $2x+6$ не должен быть равен 0. Числитель $x(x+3) = 0$ когда $x=0$ или $x+3=0 \Rightarrow x=-3$. Проверим знаменатель: $2x+6 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -6 \Rightarrow x \neq -3$. Значит, $x=-3$ не подходит, потому что при этом значении знаменатель будет равен 0. Остаётся только $x=0$. Значение $x$: 0. **16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби:** Такое же задание, как предыдущее: числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю. a) $\frac{m+4}{6}$: Числитель $m+4 = 0 \Rightarrow m = -4$. б) $\frac{7-5n}{11}$: Числитель $7-5n = 0 \Rightarrow 7 = 5n \Rightarrow n = \frac{7}{5}$ или $n = 1.4$. в) $\frac{b^2-b}{b+2}$: Числитель $b^2-b = 0 \Rightarrow b(b-1) = 0$. Это значит $b=0$ или $b=1$. Знаменатель $b+2 \neq 0 \Rightarrow b \neq -2$. Оба найденных значения (0 и 1) подходят. Значения $b$: 0 и 1. г) $\frac{y^2-25}{3y-15}$: Числитель $y^2-25 = 0 \Rightarrow (y-5)(y+5) = 0$. Это значит $y=5$ или $y=-5$. Знаменатель $3y-15 \neq 0 \Rightarrow 3(y-5) \neq 0 \Rightarrow y-5 \neq 0 \Rightarrow y \neq 5$. Значит, $y=5$ не подходит, потому что при этом значении знаменатель будет равен 0. Остаётся только $y=-5$. Значение $y$: -5. **17. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что:** Знак дроби зависит от знаков числителя и знаменателя. Если знаки одинаковые (оба плюсы или оба минусы), то дробь положительная. Если знаки разные (один плюс, другой минус), то дробь отрицательная. a) $a > 0$ и $b > 0$: $a$ положительное, $b$ положительное. $(+) / (+) = (+)$. Дробь положительная. б) $a > 0$ и $b < 0$: $a$ положительное, $b$ отрицательное. $(+) / (-) = (-)$. Дробь отрицательная. в) $a < 0$ и $b > 0$: $a$ отрицательное, $b$ положительное. $(-) / (+) = (-)$. Дробь отрицательная. г) $a < 0$ и $b < 0$: $a$ отрицательное, $b$ отрицательное. $(-) / (-) = (+)$. Дробь положительная. **18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:** Здесь нужно объяснить, почему дробь всегда будет иметь указанный знак (положительная, отрицательная, неотрицательная, неположительная). a) $\frac{3}{x^2+1}$ положительно: Числитель 3 всегда положительный. Знаменатель $x^2+1$: $x^2$ всегда больше или равен 0. Если к нему прибавить 1, то $x^2+1$ всегда будет больше или равно 1, то есть всегда положительное. Так как числитель и знаменатель всегда положительные, то дробь всегда положительная. б) $\frac{-5}{y^2+4}$ отрицательно: Числитель -5 всегда отрицательный. Знаменатель $y^2+4$: $y^2$ всегда больше или равен 0. Если к нему прибавить 4, то $y^2+4$ всегда будет больше или равно 4, то есть всегда положительное. Так как числитель отрицательный, а знаменатель положительный, то дробь всегда отрицательная. в) $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ неотрицательно: Числитель $(a-1)^2$: любое число в квадрате всегда больше или равно 0. Значит, числитель неотрицательный. Знаменатель $a^2+10$: $a^2$ всегда больше или равен 0. Если к нему прибавить 10, то $a^2+10$ всегда будет больше или равно 10, то есть всегда положительное. Если числитель неотрицательный, а знаменатель положительный, то дробь всегда неотрицательная (она может быть равна 0, если $a-1=0$, то есть $a=1$, и она положительна во всех остальных случаях). г) $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$ неположительно: Числитель $(b-3)^2$: любое число в квадрате всегда больше или равно 0. Значит, числитель неотрицательный. Знаменатель $-b^2-1$: $b^2$ всегда больше или равно 0, значит $-b^2$ всегда меньше или равно 0. Если к $-b^2$ вычесть 1, то $-b^2-1$ всегда будет меньше или равно -1, то есть всегда отрицательное. Если числитель неотрицательный, а знаменатель отрицательный, то дробь всегда неположительная (она может быть равна 0, если $b-3=0$, то есть $b=3$, и она отрицательна во всех остальных случаях). **19. При каком значении $a$ принимает наибольшее значение дробь:** Здесь мы ищем, когда дробь будет самой большой. a) $\frac{4}{a^2+5}$: Чтобы дробь была наибольшей, её знаменатель должен быть наименьшим (потому что числитель — постоянное положительное число). Знаменатель $a^2+5$. $a^2$ всегда больше или равно 0. Самое маленькое значение $a^2$ — это 0, когда $a=0$. Тогда наименьший знаменатель будет $0^2+5 = 5$. При $a=0$ дробь будет $\frac{4}{5}$, это её наибольшее значение. **Ответ: $a=0$** б) $\frac{10}{(a-3)^2+1}$: Так же, чтобы дробь была наибольшей, её знаменатель должен быть наименьшим (числитель — постоянное положительное число). Знаменатель $(a-3)^2+1$. $(a-3)^2$ всегда больше или равно 0. Самое маленькое значение $(a-3)^2$ — это 0, когда $a-3=0$, то есть $a=3$. Тогда наименьший знаменатель будет $0+1=1$. При $a=3$ дробь будет $\frac{10}{1} = 10$, это её наибольшее значение. **Ответ: $a=3$**