Проверь, что точки $M_1(0; 1)$, $M_2\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $M_3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, $M_4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$, $A(1; 0)$, $B(-1; 0)$ лежат на единичной полуокружности, и выпиши значения синуса, косинуса и тангенса углов $AOM_1$, $AOM_2$, $AOM_3$, $AOM_4$, $AOB$.

Привет! Давай разберем это задание по геометрии. ### Что такое единичная полуокружность? Единичная полуокружность — это верхняя половинка круга с центром в начале координат (точке $O(0;0)$) и радиусом, равным 1. Все точки, которые лежат на ней, должны удовлетворять двум условиям: 1. Расстояние от точки до начала координат должно быть равно 1. Это проверяется по формуле $x^2 + y^2 = 1$. 2. Координата $y$ должна быть неотрицательной (то есть $y \ge 0$), потому что это *верхняя* полуокружность. Теперь проверим каждую точку: **Точка $M_1(0; 1)$** 1. Проверяем расстояние: $0^2 + 1^2 = 0 + 1 = 1$. Верно! 2. Проверяем $y$: $y=1 \ge 0$. Верно! Значит, точка $M_1$ лежит на единичной полуокружности. Угол $AOM_1$ — это угол между положительной частью оси $x$ (точка $A(1;0)$) и отрезком $OM_1$. Так как $M_1(0;1)$ находится на оси $y$, то угол равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан. * $\sin(\angle AOM_1) = \sin(90^\circ) = 1$ * $\cos(\angle AOM_1) = \cos(90^\circ) = 0$ * $\tan(\angle AOM_1) = \frac{\sin(90^\circ)}{\cos(90^\circ)} = \frac{1}{0}$ — не определён **Точка $M_2\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$** 1. Проверяем расстояние: $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$. Верно! 2. Проверяем $y$: $y=\frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0$. Верно! Значит, точка $M_2$ лежит на единичной полуокружности. Угол $AOM_2$ — это угол, косинус которого равен $x$-координате, а синус — $y$-координате. Это угол $60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан. * $\sin(\angle AOM_2) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ * $\cos(\angle AOM_2) = \frac{1}{2}$ * $\tan(\angle AOM_2) = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$ **Точка $M_3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$** 1. Проверяем расстояние: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{4}{4} = 1$. Верно! 2. Проверяем $y$: $y=\frac{\sqrt{2}}{2} \ge 0$. Верно! Значит, точка $M_3$ лежит на единичной полуокружности. Угол $AOM_3$ — это угол, косинус и синус которого равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это угол $45^\circ$ или $\frac{\pi}{4}$ радиан. * $\sin(\angle AOM_3) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ * $\cos(\angle AOM_3) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ * $\tan(\angle AOM_3) = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$ **Точка $M_4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$** 1. Проверяем расстояние: $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$. Верно! 2. Проверяем $y$: $y=\frac{1}{2} \ge 0$. Верно! Значит, точка $M_4$ лежит на единичной полуокружности. Угол $AOM_4$ — это угол, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, а синус — $\frac{1}{2}$. Это угол $150^\circ$ или $\frac{5\pi}{6}$ радиан. * $\sin(\angle AOM_4) = \frac{1}{2}$ * $\cos(\angle AOM_4) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ * $\tan(\angle AOM_4) = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ **Точка $A(1; 0)$** 1. Проверяем расстояние: $1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$. Верно! 2. Проверяем $y$: $y=0 \ge 0$. Верно! Значит, точка $A$ лежит на единичной полуокружности. Угол $AOA$ — это угол $0^\circ$ или $0$ радиан. * $\sin(\angle AOA) = \sin(0^\circ) = 0$ * $\cos(\angle AOA) = \cos(0^\circ) = 1$ * $\tan(\angle AOA) = \frac{0}{1} = 0$ **Точка $B(-1; 0)$** 1. Проверяем расстояние: $(-1)^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$. Верно! 2. Проверяем $y$: $y=0 \ge 0$. Верно! Значит, точка $B$ лежит на единичной полуокружности. Угол $AOB$ — это угол $180^\circ$ или $\pi$ радиан. * $\sin(\angle AOB) = \sin(180^\circ) = 0$ * $\cos(\angle AOB) = \cos(180^\circ) = -1$ * $\tan(\angle AOB) = \frac{0}{-1} = 0$ Все точки лежат на единичной полуокружности, так как для каждой из них $x^2+y^2=1$ и $y \ge 0$. **Ответ:** * Для угла $AOM_1$: * $\sin = 1$ * $\cos = 0$ * $\tan$ не определён * Для угла $AOM_2$: * $\sin = \frac{\sqrt{3}}{2}$ * $\cos = \frac{1}{2}$ * $\tan = \sqrt{3}$ * Для угла $AOM_3$: * $\sin = \frac{\sqrt{2}}{2}$ * $\cos = \frac{\sqrt{2}}{2}$ * $\tan = 1$ * Для угла $AOM_4$: * $\sin = \frac{1}{2}$ * $\cos = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ * $\tan = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ * Для угла $AOB$: * $\sin = 0$ * $\cos = -1$ * $\tan = 0$