Найди все такие натуральные числа n, при которых выражение $\frac{3n + 7}{n}$ является натуральным числом.

Привет! Давай разберёмся с этим заданием. Натуральные числа — это те числа, которые мы используем для счёта: 1, 2, 3, 4 и так далее. Нам нужно найти такие значения буквы \(n\), чтобы все эти выражения тоже были натуральными числами. а) Чтобы выражение $\frac{3n + 7}{n}$ было натуральным числом, нужно, чтобы \(n\) было натуральным числом и делило \(7\) без остатка. Ведь \(3n\) всегда делится на \(n\). Делители числа 7 — это 1 и 7. Значит, \(n\) может быть 1 или 7. Проверим: Если $n = 1$, то $\frac{3 \cdot 1 + 7}{1} = \frac{3 + 7}{1} = \frac{10}{1} = 10$. Это натуральное число. Если $n = 7$, то $\frac{3 \cdot 7 + 7}{7} = \frac{21 + 7}{7} = \frac{28}{7} = 4$. Это натуральное число. **Ответ: $n = 1, 7$** б) Чтобы выражение $\frac{3n + 14}{n + 2}$ было натуральным числом, можно попробовать выделить целую часть. Мы хотим, чтобы в числителе было что-то, что делится на $n+2$. Заметим, что $3n + 14 = 3(n + 2) + 8$. Так удобнее! Тогда выражение можно переписать как $\frac{3(n + 2) + 8}{n + 2} = \frac{3(n + 2)}{n + 2} + \frac{8}{n + 2} = 3 + \frac{8}{n + 2}$. Чтобы это выражение было натуральным числом, $n + 2$ должно быть натуральным числом и делителем числа 8. И конечно, $n$ — натуральное число, поэтому $n+2$ будет больше или равно $1+2=3$. Делители числа 8: 1, 2, 4, 8. Нам подходят только те делители, которые больше или равны 3: это 4 и 8. Рассмотрим два случая: 1. $n + 2 = 4 \Rightarrow n = 4 - 2 \Rightarrow n = 2$. Это натуральное число. 2. $n + 2 = 8 \Rightarrow n = 8 - 2 \Rightarrow n = 6$. Это натуральное число. Проверим: Если $n = 2$, то $3 + \frac{8}{2 + 2} = 3 + \frac{8}{4} = 3 + 2 = 5$. Это натуральное число. Если $n = 6$, то $3 + \frac{8}{6 + 2} = 3 + \frac{8}{8} = 3 + 1 = 4$. Это натуральное число. **Ответ: $n = 2, 6$** в) Чтобы выражение $\frac{7n + 27}{n}$ было натуральным числом, нужно, чтобы \(n\) было натуральным числом и делило \(27\) без остатка. Ведь \(7n\) всегда делится на \(n\). Делители числа 27 — это 1, 3, 9, 27. Значит, \(n\) может быть 1, 3, 9 или 27. Проверим: Если $n = 1$, то $\frac{7 \cdot 1 + 27}{1} = \frac{7 + 27}{1} = \frac{34}{1} = 34$. Это натуральное число. Если $n = 3$, то $\frac{7 \cdot 3 + 27}{3} = \frac{21 + 27}{3} = \frac{48}{3} = 16$. Это натуральное число. Если $n = 9$, то $\frac{7 \cdot 9 + 27}{9} = \frac{63 + 27}{9} = \frac{90}{9} = 10$. Это натуральное число. Если $n = 27$, то $\frac{7 \cdot 27 + 27}{27} = \frac{189 + 27}{27} = \frac{216}{27} = 8$. Это натуральное число. **Ответ: $n = 1, 3, 9, 27$** г) Чтобы выражение $\frac{8n + 77}{2n + 1}$ было натуральным числом, как и в пункте б), попробуем выделить целую часть. Нам нужно, чтобы в числителе было что-то, что делится на $2n+1$. Давай умножим числитель на 2, чтобы получить $16n + 154$. Потом можно будет поделить на 2. $8n + 77 = 4(2n + 1) + 73$. Тогда выражение можно переписать как $\frac{4(2n + 1) + 73}{2n + 1} = \frac{4(2n + 1)}{2n + 1} + \frac{73}{2n + 1} = 4 + \frac{73}{2n + 1}$. Чтобы это выражение было натуральным числом, $2n + 1$ должно быть натуральным числом и делителем числа 73. \(n\) — натуральное число, значит $2n+1$ будет больше или равно $2 \cdot 1 + 1 = 3$. Число 73 — простое, то есть у него только два натуральных делителя: 1 и 73. Нам подходит только тот делитель, который больше или равен 3: это 73. Рассмотрим случай: $2n + 1 = 73 \Rightarrow 2n = 73 - 1 \Rightarrow 2n = 72 \Rightarrow n = 72 \div 2 \Rightarrow n = 36$. Это натуральное число. Проверим: Если $n = 36$, то $4 + \frac{73}{2 \cdot 36 + 1} = 4 + \frac{73}{72 + 1} = 4 + \frac{73}{73} = 4 + 1 = 5$. Это натуральное число. **Ответ: $n = 36$**