Реши примеры с дробями и степенями: г) $10 : (5^{-2})^{13} : 25^{14}$, д) $\frac{15^5}{3^3 \cdot 5^4} : \frac{12^5}{3^6 \cdot 4^6}$, е) $\frac{10^{10}}{2^8 \cdot 5^9} : \frac{17^6 \cdot 8^3}{34^7}$.

Привет! Давай вместе решим эти примеры с дробями и степенями. Это не так сложно, как кажется, главное — помнить правила действий со степенями. ### г) $10 : (5^{-2})^{13} : 25^{14}$ Сначала упростим выражения со степенями: 1. Когда степень возводится в другую степень, показатели умножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ $$(5^{-2})^{13} = 5^{-2 \cdot 13} = 5^{-26}$$ 2. Число 25 можно записать как $5^2$: $$25^{14} = (5^2)^{14} = 5^{2 \cdot 14} = 5^{28}$$ 3. Число 10 можно записать как $2 \cdot 5$: $$10 = 2 \cdot 5$$ Теперь подставим это в наш пример: $$2 \cdot 5 : 5^{-26} : 5^{28}$$ Деление степеней с одинаковым основанием означает вычитание показателей: $a^m : a^n = a^{m-n}$ $$2 \cdot 5^{1 - (-26) - 28} = 2 \cdot 5^{1 + 26 - 28} = 2 \cdot 5^{-1}$$ Помни, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $$2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$$ **Ответ: $\frac{2}{5}$** ### д) $\frac{15^5}{3^3 \cdot 5^4} : \frac{12^5}{3^6 \cdot 4^6}$ Разложим числа 15 и 12 на простые множители: 1. $15^5 = (3 \cdot 5)^5 = 3^5 \cdot 5^5$ 2. $12^5 = (3 \cdot 4)^5 = 3^5 \cdot 4^5$ Подставим это в каждую дробь: $$\frac{3^5 \cdot 5^5}{3^3 \cdot 5^4} : \frac{3^5 \cdot 4^5}{3^6 \cdot 4^6}$$ Упростим каждую дробь отдельно, используя правило $a^m : a^n = a^{m-n}$: Первая дробь: $$\frac{3^5 \cdot 5^5}{3^3 \cdot 5^4} = 3^{5-3} \cdot 5^{5-4} = 3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45$$ Вторая дробь: $$\frac{3^5 \cdot 4^5}{3^6 \cdot 4^6} = 3^{5-6} \cdot 4^{5-6} = 3^{-1} \cdot 4^{-1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$ Теперь разделим результаты: $$45 : \frac{1}{12} = 45 \cdot 12$$ $$45 \cdot 12 = 540$$ **Ответ: 540** ### е) $\frac{10^{10}}{2^8 \cdot 5^9} : \frac{17^6 \cdot 8^3}{34^7}$ Давай упростим каждую дробь по отдельности. **Первая дробь:** 1. Разложим $10^{10}$ как $(2 \cdot 5)^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10}$. $$\frac{2^{10} \cdot 5^{10}}{2^8 \cdot 5^9}$$ 2. Теперь используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $$2^{10-8} \cdot 5^{10-9} = 2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$$ **Вторая дробь:** 1. Разложим $8^3$ как $(2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9$. 2. Разложим $34^7$ как $(2 \cdot 17)^7 = 2^7 \cdot 17^7$. $$\frac{17^6 \cdot 2^9}{2^7 \cdot 17^7}$$ 3. Теперь используем правило деления степеней: $$17^{6-7} \cdot 2^{9-7} = 17^{-1} \cdot 2^2 = \frac{1}{17} \cdot 4 = \frac{4}{17}$$ **Теперь разделим результаты первой и второй дробей:** $$20 : \frac{4}{17}$$ Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь: $$20 \cdot \frac{17}{4} = \frac{20 \cdot 17}{4}$$ Сократим 20 и 4 на 4: $$\frac{5 \cdot 17}{1} = 85$$ **Ответ: 85**