Найди значение выражения $7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11}$

Привет! Давай вместе разберем эти выражения со степенями. Главное здесь — помнить правила, как работать со степенями при умножении, делении и когда степень возводится в другую степень. ### Задание 35. Найдите значение выражения: **а) $7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11}$** Сначала разберемся со скобками: $(7^2)^4$. Когда степень возводится в степень, показатели степеней умножаются. То есть $2 \cdot 4 = 8$. $$ (7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8 $$ Теперь наше выражение выглядит так: $7^5 \cdot 7^8 : 7^{11}$. Когда мы умножаем числа с одинаковым основанием, показатели степеней складываются. А когда делим, показатели вычитаются. $$ 7^5 \cdot 7^8 : 7^{11} = 7^{5+8} : 7^{11} = 7^{13} : 7^{11} = 7^{13-11} = 7^2 $$ Теперь осталось посчитать $7^2$, это $7 \cdot 7$. $$ 7^2 = 49 $$ **Ответ: 49** **б) $11^{-4} : 11^{13} : 11^{17}$** Здесь все действия — деление. Значит, мы будем вычитать показатели степеней. Будь внимателен с отрицательными числами! $$ 11^{-4} : 11^{13} : 11^{17} = 11^{-4-13-17} $$ Сложим все отрицательные числа в показателе: $$ -4 - 13 - 17 = -17 - 17 = -34 $$ Значит, получаем: $$ 11^{-34} $$ **Ответ: $11^{-34}$** **в) $5^9 : 5^{-12} : 5^{20}$** Опять деление, значит вычитаем показатели степеней. Не забываем про знак минус у числа 12! $$ 5^9 : 5^{-12} : 5^{20} = 5^{9 - (-12) - 20} $$ Когда мы вычитаем отрицательное число, это все равно что прибавить положительное. То есть $- (-12)$ превращается в $+12$. $$ 5^{9 + 12 - 20} = 5^{21 - 20} = 5^1 $$ Любое число в первой степени равно самому себе. $$ 5^1 = 5 $$ **Ответ: 5** **г) $10 : (5^{-2})^{13} : 25^{14}$** Сначала разберемся со скобками: $(5^{-2})^{13}$. Снова умножаем показатели степеней. $$ (5^{-2})^{13} = 5^{-2 \cdot 13} = 5^{-26} $$ Теперь посмотрим на $25^{14}$. Число 25 можно записать как $5^2$. Так мы получим везде основание 5. $$ 25^{14} = (5^2)^{14} = 5^{2 \cdot 14} = 5^{28} $$ Теперь наше выражение выглядит так: $10 : 5^{-26} : 5^{28}$. Обрати внимание, что 10 — это не $5^х$. Мы можем расписать 10 как $2 \cdot 5$. Тогда наше выражение будет: $$ (2 \cdot 5) : 5^{-26} : 5^{28} $$ Теперь работаем со степенями числа 5. Помни, что 5 без показателя — это $5^1$. $$ 2 \cdot 5^1 : 5^{-26} : 5^{28} = 2 \cdot 5^{1 - (-26) - 28} $$ Считаем показатель степени для 5: $$ 1 - (-26) - 28 = 1 + 26 - 28 = 27 - 28 = -1 $$ Получаем: $$ 2 \cdot 5^{-1} $$ Напомню, что число в отрицательной степени можно записать как дробь: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. $$ 2 \cdot 5^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5} $$ **Ответ: $\frac{2}{5}$** **д) $\frac{15^5}{3^3 \cdot 5^4} : \frac{12^5}{3^6 \cdot 4^6}$** Для начала упростим каждую дробь отдельно. Первая дробь: $\frac{15^5}{3^3 \cdot 5^4}$. Число 15 можно записать как $3 \cdot 5$. Тогда $15^5 = (3 \cdot 5)^5 = 3^5 \cdot 5^5$. $$ \frac{3^5 \cdot 5^5}{3^3 \cdot 5^4} $$ Теперь можно вычесть показатели для одинаковых оснований: $$ 3^{5-3} \cdot 5^{5-4} = 3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45 $$ Вторая дробь: $\frac{12^5}{3^6 \cdot 4^6}$. Число 12 можно записать как $3 \cdot 4$. Тогда $12^5 = (3 \cdot 4)^5 = 3^5 \cdot 4^5$. $$ \frac{3^5 \cdot 4^5}{3^6 \cdot 4^6} $$ Теперь вычитаем показатели. Если показатель в знаменателе больше, результат будет в знаменателе или с отрицательным показателем: $$ 3^{5-6} \cdot 4^{5-6} = 3^{-1} \cdot 4^{-1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12} $$ Теперь нам нужно разделить результат первой дроби на результат второй дроби: $$ 45 : \frac{1}{12} $$ Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь (перевернуть вторую дробь). $$ 45 \cdot 12 $$ $$ 45 \cdot 12 = 540 $$ **Ответ: 540** **е) $\frac{10^{10}}{2^8 \cdot 5^9} : \frac{17^6 \cdot 8^3}{2^{20}}$** Опять упростим каждую дробь отдельно. Первая дробь: $\frac{10^{10}}{2^8 \cdot 5^9}$. Число 10 можно записать как $2 \cdot 5$. Тогда $10^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10}$. $$ \frac{2^{10} \cdot 5^{10}}{2^8 \cdot 5^9} $$ Вычитаем показатели: $$ 2^{10-8} \cdot 5^{10-9} = 2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20 $$ Вторая дробь: $\frac{17^6 \cdot 8^3}{2^{20}}$ Число 8 можно записать как $2^3$. Тогда $8^3 = (2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9$. $$ \frac{17^6 \cdot 2^9}{2^{20}} $$ Здесь основание 17 останется без изменений. Для основания 2 вычитаем показатели: $$ 17^6 \cdot 2^{9-20} = 17^6 \cdot 2^{-11} $$ Теперь нам нужно разделить результат первой дроби на результат второй дроби: $$ 20 : (17^6 \cdot 2^{-11}) $$ Разделить — значит умножить на обратную дробь: $$ 20 \cdot \frac{1}{17^6 \cdot 2^{-11}} = 20 \cdot \frac{2^{11}}{17^6} $$ Можно записать 20 как $4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^1$. $$ 2^2 \cdot 5^1 \cdot \frac{2^{11}}{17^6} = \frac{2^2 \cdot 2^{11} \cdot 5^1}{17^6} = \frac{2^{2+11} \cdot 5}{17^6} = \frac{2^{13} \cdot 5}{17^6} $$ **Ответ: $\frac{2^{13} \cdot 5}{17^6}$**